Question

已知O為直線AB上的一點，∠COE是直角， OF 平分∠AOE．

（1）如圖①，若∠COF＝34°，則∠BOE＝      °；若∠COF＝m°，則∠BOE＝      °；由上面的解答可知：∠BOE與∠COF之間的數量關系應該為                ．
（2）如圖②，（1）中∠BOE與∠COF之間的數量關系是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．
（3）如圖③，在（2）的情況下，若∠COF＝65°，在∠BOE的內部是否存在一條射線OD，使得2∠BOD與∠AOF的和等于∠BOE與∠BOD的差的一半？若存在，請求出∠BOD的度數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）68；；∠BOE=2∠COF；（2）成立；（3）16°

試題分析：（1）根據角平分線的性質結合直角、平角的定義即可得到結果；
（2）設，根據角平分線的性質可得，即可得到，再由可得，從而得到結論；
（3）由∠COF=65°可得∠BOE=2∠COF=130°，即可得到∠AOF的度數，又2∠BOD+∠AOF=(∠BOE-∠BOD)，即可求得結果.
（1）若∠COF＝34°，則∠BOE＝68°；若∠COF＝m°，則∠BOE＝°；所以∠BOE=2∠COF；
（2）成立．理由如下：  
設
∵OF 平分∠AOE    
∴ 
∴   
∵ 
∴ 
∴∠BOE=2∠COF；
（3）存在，∠BOD=16°．理由如下：
∵∠COF=65°    
∴∠BOE=2∠COF=130° 
∴∠AOF=(180°-∠BOE)=25°  
又2∠BOD+∠AOF=(∠BOE-∠BOD)
∴2∠BOD+25°=(130°-∠BOD)
∴∠BOD=16°.
點評：解題的關鍵是熟練掌握角的平分線把角分成相等的兩個小角，且都等于大角的一半，注意本題要有整體意識.