【題目】已知二次函數(shù)(k>0).
(1)當(dāng)k=時(shí),求這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求證:關(guān)于x的一元次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(3)如圖,該二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)),與y軸交于C點(diǎn),P是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn),且OP=1,直線AP交BC于點(diǎn)Q,求證:.
【答案】(1)(1,);(2)證明見(jiàn)解析;(3)證明見(jiàn)解析.
【解析】
試題分析:(1)直接將k的值代入函數(shù)解析式,進(jìn)而利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)利用根的判別式得出△=1,進(jìn)而得出答案;
(3)根據(jù)題意首先表示出Q點(diǎn)坐標(biāo),以及表示出OA,AB的長(zhǎng),再利用兩點(diǎn)之間距離求出AQ的長(zhǎng),進(jìn)而求出答案.
試題解析:(1)將k=代入二次函數(shù)可求得,=,故拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為:(1,);
(2)∵一元次方程,∴△===1>0,∴關(guān)于x的一元次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(3)由題意可得:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1),則,(x﹣k﹣1)(x﹣k)=0,故A(k,0),B(k+1,0),當(dāng)x=0,則y=,故C(0,),則AB=k+1﹣k=1,OA=k,可得:=,=,當(dāng)=,解得:x=,則代入原式可得:y=,則點(diǎn)Q坐標(biāo)為(,).運(yùn)用距離公式得:==,則,=1,故===,則.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品,假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等,如圖中的折線ABD、線段CD分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本(單位:元)、銷售價(jià)(單位:元)與產(chǎn)量x(單位:kg)之間的函數(shù)關(guān)系.
(1)請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)D的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實(shí)際意義;
(2)求線段AB所表示的與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(3)當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時(shí),獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若點(diǎn)A(a﹣2,3)和點(diǎn)B(﹣1,b+5)關(guān)于y軸對(duì)稱,則點(diǎn)C(a,b)在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:菱形ABCD的兩條對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,BE∥AC,CE∥BD.
(1)若AC=8,BD=6,求AB的長(zhǎng);
(2)求證:四邊形OBEC為矩形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,E,F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊AD,AB上的點(diǎn),若EF=EC,且EF⊥EC.
(1)求證:AE=DC;
(2)已知DC= ,求BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為支持國(guó)家南水北調(diào)工程建設(shè),小王家由原來(lái)養(yǎng)殖戶變?yōu)榉N植戶,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查得知,種植草莓不超過(guò)20畝時(shí),所得利潤(rùn)y(元)與種植面積m(畝)滿足關(guān)系式y(tǒng)=1500m;超過(guò)20畝時(shí),y=1380m+2400.而當(dāng)種植櫻桃的面積不超過(guò)15畝時(shí),每畝可獲得利潤(rùn)1800元;超過(guò)15畝時(shí),每畝獲得利潤(rùn)z(元)與種植面積x(畝)之間的函數(shù)關(guān)系如下表(為所學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)中的一種).
(1)設(shè)小王家種植x畝櫻桃所獲得的利潤(rùn)為P元,直接寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;
(2)如果小王家計(jì)劃承包40畝荒山種植草莓和櫻桃,當(dāng)種植櫻桃面積x(畝)滿足0<x<20時(shí),求小王家總共獲得的利潤(rùn)w(元)的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線(m>0)交y軸于點(diǎn)C,CA⊥y軸,交拋物線于點(diǎn)A,點(diǎn)B在拋物線上,且在第一象限內(nèi),BE⊥y軸,交y軸于點(diǎn)E,交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,BE=2AC.
(1)用含m的代數(shù)式表示BE的長(zhǎng).
(2)當(dāng)m=時(shí),判斷點(diǎn)D是否落在拋物線上,并說(shuō)明理由.
(3)若AG∥y軸,交OB于點(diǎn)F,交BD于點(diǎn)G.
①若△DOE與△BGF的面積相等,求m的值.
②連結(jié)AE,交OB于點(diǎn)M,若△AMF與△BGF的面積相等,則m的值是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:C是線段AB所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),分別以AC、BC為邊,在AB同側(cè)作等邊三角形ACE和BCD,聯(lián)結(jié)AD、BE交于點(diǎn)P.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上移動(dòng)時(shí),線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系是: .
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在直線AB外,且∠ACB<120°,上面的結(jié)論是否還成立?若成立請(qǐng)證明,不成立說(shuō)明理由.
(3)在(2)的條件下,∠APE大小是否隨著∠ACB的大小發(fā)生變化而發(fā)生變化,若變化寫出變化規(guī)律,若不變,請(qǐng)求出∠APE的度數(shù).
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