Question

（2011•盤錦）如圖，在一個矩形空地ABCD上修建一個矩形花壇AMPQ，要求點M在AB上，點Q在AD上，點P在對角線BD上．若AB=6m，AD=4m，設(shè)AM的長為xm，矩形AMPQ的面積為S平方米．
（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)x為何值時，S有最大值？請求出最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)實際問題：由AM的長為x米，利用相似關(guān)系即可轉(zhuǎn)化出邊長AQ，從而建立函數(shù)解析式，要注意自變量的取值范圍．
（2）利用（1）的結(jié)論，配方即可求解．

解答：解：（1）∵四邊形AMPQ是矩形，
∴PQ=AM=x．（1分）
∵PQ∥AB，
∴△PQD∽△BAD．（3分）
∴

DQ

DA

=

PQ

BA

．
∵AB=6，AD=4，
∴DQ=

2

3

x．（4分）
∴AQ=4-

2

3

x．（5分）
∴S=AQ•AM=（4-

2

3

x）x=-

2

3

x²+4x（0＜x＜6）．（7分）
（注：不寫自變量取值范圍不扣分，若寫錯則扣1分）

（2）解法一：∵S=-

2

3

x²+4x=-

2

3

（x-3）²+6，（9分）
又∵-

2

3

＜0，
∴S有最大值．
∴當(dāng)x=3時，S的最大值為6．（11分）
答：當(dāng)AM的長為3米時，矩形AMPQ的面積最大；最大面積為6平方米．（12分）
解法二：∵-

2

3

＜0，
∴S有最大值．（8分）
∴當(dāng)x=

4

2×(- 2 3 )

=3時，
S有最大值為-

2

3

×3²+4×3=6．（11分）
答：當(dāng)AM的長為3米時，矩形AMPQ的面積最大；最大面積為6平方米．（12分）

點評：本題考查的是根據(jù)實際問題選擇函數(shù)模型的問題．建立函數(shù)模型解決實際問題這類應(yīng)用題的目的在于考查學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的閱讀、理解、表達與轉(zhuǎn)化能力．同時也要注意實際問題中自變量的取值范圍．