Question

如圖，△APB與△CDP是兩個全等的等邊三角形，且PA⊥PD，有下列四個結(jié)論：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直線PC與AB垂直．其中正確的有

1. A.
   0個
2. B.
   1個
3. C.
   2個
4. D.
   3個

Answer 1

D
分析：根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BP=CP，AP=DP，根據(jù)等邊三角形的每一個角都是60°可得∠ABP=∠APB=∠BAC=∠CPD=60°，然后利用周角等于360°求出∠BPC=150°，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠PBC=15°；再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠PAD=45°，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補求出AD∥BC；再求出∠ABC+∠PCB=90°，然后判斷出PC與AB垂直．
解答：∵△APB與△CDP是兩個全等的等邊三角形，
∴BP=CP，AP=DP，∠ABP=∠APB=∠BAC=∠CPD=60°，
∵PA⊥PD，
∴∠BPC=360°-90°-60°×2=150°，
∴∠PBC=∠PCB=15°，故①正確；
∵PA⊥PD，
∴△APD是等腰直角三角形，
∴∠PAD=45°，
∴∠BAD+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，
∴AD∥BC，故②正確；
∵∠ABC+∠PCB=60°+15°+15°=90°，
∴直線PC與AB垂直，故③正確；
綜上所述，正確的有①②③共3個．
故選D．
點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．