Question

如圖，已知E為線段AB的中點，四邊形BCDE是以BC為一邊的正方形．以B為圓心，BD長為半徑的⊙B與AB邊相交于F點，延長CB交⊙B于G點．
求證：（1）AD是⊙B的切線；
（2）DE²=EF•CG．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖1，連接BD，由DE⊥AB，E為AB的中點，所以，AD=BD，再根據正方形的性質，可得∠ADB=90°；
（2）如圖2，連接DF、DG，可通過證明Rt△DEF∽Rt△GCD來解答；∠DFB==67.5°，∠GDC=∠GDB+∠BDC=67.5°，∠GDB==22.5°，即可得出結論；
解答：證明：（1）如圖1，連接BD，
∵四邊形BCDE是正方形∴∠DBA=45°，
∵DE⊥AB，E為AB的中點，∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴∠ADB=90°，
∴AD是⊙B的切線；

（2）如圖2，連接DF，在△BDF中，∵BD=BF，
∴∠BFD=∠BDF，又∵∠DBF=45°，
∴∠BFD=∠BDF=67.5°，
連接DG，在△BDG中，∵BD=BG，
∴∠BDG=∠BGD，
又∵∠DBG=∠DBE+∠GBE=45°+90°=135°，
∴∠GDB=22.5°，
在Rt△DEF與Rt△GCD中∵∠GDC=∠GDB+∠BDC=67.5°=∠DFE，
∴Rt△DEF∽Rt△GCD，
∴，
又∵CD=DE，
∴DE²=EF•CG．
點評：本題考查了正方形的性質、相似三角形及切線的判定與性質的綜合應用，應熟練掌握其判定、性質定理，考查了學生綜合應用知識的能力．