【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2-2ax-3aa≠0)頂點為P,且該拋物線與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)).我們規(guī)定:拋物線與x軸圍成的封閉區(qū)域稱為G區(qū)域(不包含邊界);橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為整點.

1)求拋物線y=ax2-2ax-3a頂點P的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示);

2)如果拋物線y=ax2-3ax-3a經(jīng)過(1,3).

①求a的值;

②在①的條件下,直接寫出G區(qū)域內(nèi)整點的個數(shù).

3)如果拋物線y=ax2-2ax-3aG區(qū)域內(nèi)有4個整點,直接寫出a的取值范圍.

【答案】(1)頂點P的坐標(biāo)為(1-4a).(2)①a=-.②G區(qū)域6個整數(shù)點.(3a的取值范圍為-a-a

【解析】

1)利用配方法將拋物線的解析式變形為頂點式,由此即可得出頂點P的坐標(biāo);
2)將點(1,3)代入拋物線解析式中,即可求出a值,再分析當(dāng)x=0、1、2時,在“G區(qū)域內(nèi)整數(shù)點的坐標(biāo),由此即可得出結(jié)論;
3)分a0a0兩種情況考慮,依照題意畫出圖形,結(jié)合圖形找出關(guān)于a的不等式組,解之即可得出結(jié)論.

解:(1)∵y=ax2-2ax-3a=ax+1)(x-3=ax-12-4a

∴頂點P的坐標(biāo)為(1,-4a).

2)∵拋物線y=ax+1)(x-3)經(jīng)過(1,3),

3=a1+1)(1-3),

解得:a=-

當(dāng)y=-x+1)(x-3=0時,x1=-1,x2=3

∴點A-1,0),點B3,0).

當(dāng)x=0時,y=-x+1)(x-3=,

∴(0,1)、(0,2)兩個整數(shù)點在“G區(qū)域

當(dāng)x=1時,y=-x+1)(x-3=3

∴(1,1)、(12)兩個整數(shù)點在“G區(qū)域;

當(dāng)x=2時,y=-x+1)(x-3=

∴(2,1)、(22)兩個整數(shù)點在“G區(qū)域

綜上所述:此時“G區(qū)域6個整數(shù)點.

3)當(dāng)x=0時,y=ax+1)(x-3=-3a,

∴拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為(0,-3a).

當(dāng)a0時,如圖1所示,

此時有,

解得:-≤a-;

當(dāng)a0時,如圖2所示,

此時有,

解得:a≤

綜上所述,如果G區(qū)域中僅有4個整數(shù)點時,則a的取值范圍為-≤a-a≤

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③以D為圓心,b為半徑作圓,交PQA;

④連接ABAC

ABC就是所求作的圖形.

根據(jù)上述作圖過程,回答問題:

1)用直尺和圓規(guī),補全圖2中的圖形;

2)完成下面的證明:

證明:由作圖可知BC=aAD=b

PQ為線段BC的垂直平分線,點APQ上,

AB=AC______)(填依據(jù)).

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ADBC

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