Question

【題目】如圖1，A，B分別在射線OM，ON上，且∠MON為鈍角，現(xiàn)以線段OA，OB為斜邊向∠MON的外側(cè)作等腰直角三角形，分別是△OAP，△OBQ，點(diǎn)C，D，E分別是OA，OB，AB的中點(diǎn)．

(1)求證：四邊形OCED為平行四邊形；

(2)求證:△PCE≌△EDQ

(3)如圖2,延長PC,QD交于點(diǎn)R.若∠MON=150°,求證:△ABR為等邊三角形。

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析

【解析】

（1）利用兩邊平行且相等證明即可

(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)得到∠PCE=∠EDQ,根據(jù)邊角邊公理證明即可;

（3）連結(jié)RO,根據(jù)線段垂直平分線的判定定理和性質(zhì)定理得到AR=OR=BR,根據(jù)等邊三角形的判定定理證明即可.

(1)∵C是AO中點(diǎn)，E是AB中點(diǎn)

∴CE平行且等于AB

∵OD=AB，

∴CE平行且等于OD，

∴四邊形OCED為平行四邊形

(2)證明:∵△OAP是等腰直角三角形,且點(diǎn)C是OA的中點(diǎn),

∴△PCA和△PCO都是等腰直角三角形,

∴PC=AC=OC,∠PCO=90°

同理:QD=OD=BD,∠QDO=90°

∵四邊形CODE是平行四邊形

∴CE=OD，ED=OC,

∴ED=PC,QD=CE

∵CE∥ON.DE∥OM，

∴∠ACE=∠AOD,∠BDE=∠AOD

∴∠ACE=∠BDE

∴∠OCE=∠ODE,

∴∠OCE+∠PCO=∠ODE+∠QDO

即∠PCE=∠EDQ

在△PCE與△EDQ中

∴△PCE≌△EDQ;

(3)連結(jié)RO,

∵△OAP和△OBQ均為等腰直角三角形,點(diǎn)C.D分別是OA、OB的中點(diǎn)

∴PR與QR分別是OA,OB的垂直平分線

∴AR=OR=BR

∴∠ARC=∠ORC,∠ORD=∠BRD

∵∠RCO=∠RDO=90°,∠COD=150°

∴∠CRD=30°

∴.∠ARB=60°

∴△ARB是等邊三角形。