【題目】如圖,一次函數(shù)的函數(shù)圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作Rt△ABC,且使∠ABC=30°;
(1)如果點(diǎn)P(m,)在第二象限內(nèi),試用含m的代數(shù)式表示四邊形AOPB的面積,并求當(dāng)△APB與△ABC面積相等時(shí)m的值;
(2)如果△QAB是等腰三角形并且點(diǎn)Q在坐標(biāo)軸上,請(qǐng)求出點(diǎn)Q所有可能的坐標(biāo);
(3)是否存在實(shí)數(shù)a,b使一次函數(shù)和y=ax+b的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)m=﹣;(2)Q的坐標(biāo)為(3,0)或(﹣1,0)或(0,﹣)或(0,+2)或(0,﹣2)或(0,);(3)見解析
【解析】
試題分析:(1)過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D,根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),從而求出OA、OB,利用勾股定理列式求出AB,然后求出∠ABO=30°,再根據(jù)S四邊形AOPB=S梯形PDOB+S△AOB﹣S△PDO列式整理即可得解;根據(jù)S△APB=S四邊形AOPB﹣S△AOP表示出△APB的面積,再解直角三角形求出AC,然后求出△ABC的面積,列出方程求解即可;
(2)分①點(diǎn)A是頂角頂點(diǎn),AB是腰時(shí),求出OQ的長度,②點(diǎn)B是頂角頂點(diǎn),AB是腰時(shí),求出OQ的長度,然后寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo),③AB是底邊時(shí),分點(diǎn)Q在y軸上和點(diǎn)Q在x軸上兩種情況,利用等邊三角形的性質(zhì)求解;
(3)求出A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出a、b,然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解.
解:(1)如圖,過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D,
∵點(diǎn)P(m,)在第二象限內(nèi),
∴PD=,OD=﹣m,
令y=0,則﹣x+=0,
解得x=1,
令x=0,則y=,
∴點(diǎn)A(1,0),B(0,),
∴OA=1,OB=,
由勾股定理得,AB===2,
∴∠ABO=30°,
S四邊形AOPB=S梯形PDOB+S△AOB﹣S△PDO,
=×(+)(﹣m)+×1×﹣×(﹣m)×,
=﹣m+,
∴四邊形AOPB的面積=﹣m+;
S△APB=S四邊形AOPB﹣S△AOP,
=﹣m+﹣×1×,
=﹣m+,
∵∠ABC=30°,
∴AC=ABtan30°=2×=,
∴S△ABC=×2×=,
∵△APB與△ABC面積相等,
∴﹣m+=,
解得m=﹣,
故,當(dāng)△APB與△ABC面積相等時(shí),m=﹣;
(2)①點(diǎn)A是頂角頂點(diǎn),AB是腰時(shí),AQ=AB=2,
若點(diǎn)Q在x正半軸,則OQ=AO+AQ=1+2=3,
若點(diǎn)Q在x軸負(fù)半軸,則OQ=AQ﹣AO=2﹣1=1,
若點(diǎn)Q在y軸負(fù)半軸,則OQ=BO=,
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,0)或(﹣1,0)或(0,﹣),
②點(diǎn)B是頂角頂點(diǎn),AB是腰時(shí),BQ=AB=2,
若點(diǎn)Q在y軸正半軸,則OQ=BO+BQ=+2,
若點(diǎn)Q在y軸負(fù)半軸,則OQ=BQ﹣BO=2﹣,
若點(diǎn)Q在x軸負(fù)半軸,則OQ=AO=1,
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,+2)或(0,﹣2)或(﹣1,0);
③AB是底邊時(shí),若點(diǎn)Q在y軸上,則OQ=OAtan30°=1×=,
若點(diǎn)Q在x軸上,則OQ=AO=1,
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,)或(﹣1,0),
綜上所述,△QAB是等腰三角形時(shí),坐標(biāo)軸上點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,0)或(﹣1,0)或(0,﹣)或(0,+2)或(0,﹣2)或(0,);
(3)∵A(1,0)關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(0,1),
B(0,)關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(,0),
∴,
解得,
∴==,
=,
=,
=﹣.
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【題目】“Welcome to Senior High School.”(歡迎進(jìn)入高中),在這段句子的所有英文字母中,字母o出現(xiàn)的頻率是( )
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8
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【題目】已知, ∥, ,試解答下列問題:
(1)如圖①,則__________,則OB與AC的位置關(guān)系為__________
(2)如圖②,若點(diǎn)在線段上,且滿足 ,并且平分.則的度數(shù)等于_____________;
(3)在第(2)題的條件下,若平行移動(dòng)到如圖③所示位置.
①在AC移動(dòng)的過程中, 與的比值是否發(fā)生改變,若不改變求出其比值,若要改變說明理由;
②當(dāng)∠OEB=∠OCA時(shí),求∠OCA
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【題目】鄂州市化工材料經(jīng)銷公司購進(jìn)一種化工原料若干千克,價(jià)格為每千克30元.物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不高于每千克60元,不低于每千克30元.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):日銷售量y(千克)是銷售單價(jià)x(元)的一次函數(shù),且當(dāng)x=60時(shí),y=80;x=50時(shí),y=100.在銷售過程中,每天還要支付其他費(fèi)用450元.
(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
(2)求該公司銷售該原料日獲利w(元)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí),該公司日獲利最大?最大獲利是多少元?
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【題目】如圖,∠1+∠2=180,∠A=∠C,DA平分∠BDF。
(1)求證:AE∥FC.
(2)AD與BC的位置關(guān)系如何,為什么?
(3)證明:BC平分∠DBE.
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