如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),在BA邊上以每秒5 cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),在CB邊上以每秒4 cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t<2),連接PQ.
(1)若△BPQ與△ABC相似,求t的值;
(2)連接AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值;
(3)試證明:PQ的中點(diǎn)在△ABC的一條中位線上.
(1)t=1或;(2);(3)證明見解析.
解析試題分析:(1)分兩種情況討論:①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí), ,當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí), ,再根據(jù)BP=5t,QC=4t,AB=10cm,BC=8cm,代入計(jì)算即可.
(2)過(guò)P作PM⊥BC于點(diǎn)M,AQ,CP交于點(diǎn)N,則有PB=5t,PM=3t,MC=8-4t,根據(jù)△ACQ∽△CMP,得出 ,代入計(jì)算即可.
(3)過(guò)P作PD⊥AC于點(diǎn)D,連接DQ,BD,BD交PQ于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作EF∥AC分別交BC,BA于E,F(xiàn)兩點(diǎn),
證明四邊形PDQB是平行四邊形,則點(diǎn)M是PQ和BD的中點(diǎn),進(jìn)而由得到點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),由得到點(diǎn)F為BA的中點(diǎn),因此,PQ中點(diǎn)在△ABC的中位線上.
試題解析:(1)①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí),
∵ ,BP=5t,QC=4t,AB=10cm,BC=8cm,∴,解得t=1;
②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí),∵,∴ ,解得.
∴t=1或時(shí),△BPQ與△ABC相似.
(2)如答圖,過(guò)P作PM⊥BC于點(diǎn)M,AQ,CP交于點(diǎn)N,則有PB=5t,PM=3t,MC=8-4t,
∵∠NAC+∠NCA=90°,∠PCM+∠NCA=90°,∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°,
∴△ACQ∽△CMP.∴.∴ ,解得:.
(3)如答圖,過(guò)P作PD⊥AC于點(diǎn)D,連接DQ,BD,BD交PQ于點(diǎn)M,
則,
∵,∴PD=BQ且PD∥BQ.∴四邊形PDQB是平行四邊形.∴點(diǎn)M是PQ和BD的中點(diǎn).
過(guò)點(diǎn)M作EF∥AC分別交BC,BA于E,F(xiàn)兩點(diǎn),
則,即點(diǎn)E為BC的中點(diǎn).
同理,點(diǎn)F為BA的中點(diǎn).
∴PQ中點(diǎn)在△ABC的中位線上.
考點(diǎn):1.雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題;2.相似三角形的判定和性質(zhì);3平行四邊形的判定和性質(zhì);4.三角形中位線的判定..
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在13×13的網(wǎng)格圖中,已知△ABC和點(diǎn)M(1,2).
(1)以點(diǎn)M為位似中心,位似比為2,畫出△ABC的位似圖形△A′B′C′;
(2)寫出△A′B′C′的各頂點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在如圖所示的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)的三角形)ABC的頂點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(-2,4),(2,1).
(1)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標(biāo)系;
(2)請(qǐng)作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A′B′C′;
(3)若△ADE是△ABC關(guān)于點(diǎn)A的位似圖形,且E的坐標(biāo)為(6,-2),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 , 四邊形BCED面積是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知:△ABD和△CBD關(guān)于直線BD對(duì)稱(點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)C),點(diǎn)E、F分別是線段BC和線段BD上的點(diǎn),且點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上,連接AF、AE,AE交BD于點(diǎn)G.
(1)如圖l,求證:∠EAF=∠ABD;
(2)如圖2,當(dāng)AB=AD時(shí),M是線段AG上一點(diǎn),連接BM、ED、MF,MF的延長(zhǎng)線交ED于點(diǎn)N,∠MBF=∠BAF,AF=AD,請(qǐng)你判斷線段FM和FN之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的判斷是正確的.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到,如下是一個(gè)案例,請(qǐng)補(bǔ)充完整,原題:如圖1,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn),BF的延長(zhǎng)線交射線CD于點(diǎn)G.若=3,求的值.
(1)嘗試探究:
在圖1中,過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H,則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是________,
CG和EH的數(shù)量關(guān)系是________,
的值是________.
(2)類比延伸:
如圖2,在原題條件下,若=m(m>0)則的值是________(用含有m的代數(shù)式表示),試寫出解答過(guò)程.
(3)拓展遷移:
如圖3,梯形ABCD中,DC∥AB,點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),AE和BD相交于點(diǎn)F,若=a,=b(a>0,b>0)則的值是________(用含a、b的代數(shù)式表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,矩形ABCD中,以對(duì)角線BD為一邊構(gòu)造一個(gè)矩形BDEF,使得另一邊EF過(guò)原矩形的頂點(diǎn)C.
(1)設(shè)Rt△CBD的面積為S1,Rt△BFC的面積為S2,Rt△DCE的面積為S3,則S1 S2+S3(用“>”、“=”、“<”填空);
(2)寫出如圖中的三對(duì)相似三角形,并選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在Rt△ABC中,AB=AC=4.一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿BC方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)C即停止.在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC與Rt△ABC的直角邊相交于點(diǎn)D,延長(zhǎng)PD至點(diǎn)Q,使得PD=QD,以PQ為斜邊在PQ左側(cè)作等腰直角三角形PQE.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).
(1)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,設(shè)△ABC與△PQE重疊部分的面積為S,請(qǐng)直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及相應(yīng)的自變量t的取值范圍;
(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí),連接AQ、AP,是否存在這樣的t,使得△APQ成為等腰三角形?若存在,求出對(duì)應(yīng)的t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)t=4秒時(shí),以PQ為斜邊在PQ右側(cè)作等腰直角三角形PQF,將四邊形PEQF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),PE與線段AB相交于點(diǎn)M,PF與線段AC相交于點(diǎn)N.試判斷在這一旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,四邊形PMAN的面積是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,求出四邊形PMAN的面積y與PM的長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系式以及相應(yīng)的自變量x的取值范圍;若不發(fā)生變化,求出此定值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分線,按以下要求解答問(wèn)題:
(1)如圖1,將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng),兩直角邊分別與OA,OB交于點(diǎn)C,D.
①比較大小:PC______PD. (選擇“>”或“<”或“=”填空);
②證明①中的結(jié)論.
(2)將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng),一直角邊與邊OA交于點(diǎn)C,且OC=1,另一直角邊與直線OB,直線OA分別交于點(diǎn)D,E,當(dāng)以P,C,E為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似時(shí),試求的長(zhǎng).(提示:請(qǐng)先在備用圖中畫出相應(yīng)的圖形,再求的長(zhǎng)).
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