Question

某商場(chǎng)銷售羊絨衫有旺季和淡季之分，并且標(biāo)價(jià)越高，購(gòu)買人數(shù)越少，把購(gòu)買人數(shù)為零時(shí)的最低標(biāo)價(jià)稱為無效價(jià)格．現(xiàn)該商場(chǎng)以500元/件的價(jià)格購(gòu)進(jìn)了一批羊絨衫，旺季時(shí)以高于進(jìn)價(jià)的某一價(jià)格出售，淡季時(shí)適當(dāng)降價(jià)，以高于進(jìn)價(jià)的另一價(jià)格出售．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：①購(gòu)買人數(shù)是羊絨衫標(biāo)價(jià)的一次函數(shù)；
②旺季的無效價(jià)格是淡季無效價(jià)格的倍；
③旺季商場(chǎng)以1200元/件價(jià)格銷售時(shí)，商場(chǎng)能獲取最大利潤(rùn)．
問：在淡季銷售時(shí)，商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)，羊絨衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為多少？

Answer 1

解：設(shè)購(gòu)買人數(shù)為y人，羊絨衫標(biāo)價(jià)為x元/件，
設(shè)旺季購(gòu)買人數(shù)為：y=ax+b，（a＜0），
設(shè)總利潤(rùn)為R元，一件的利潤(rùn)就是x-500元，
∴R=（x-500）（ax+b）
=ax²+（b-500a）x-500b
=a[x²+（-500）x]-500b
=a[x+（-250）]²-500b-a （-250）²，
∵a＜0，
∴R的最大值出現(xiàn)在x=1200時(shí)，則 -250=-1200，
∴=-1900，
因此旺季購(gòu)買人數(shù)y與價(jià)格x的關(guān)系為y=ax-1900a，
∴x=1900時(shí)，就成為無效價(jià)格了，
∴在淡季時(shí)，無效價(jià)格為：=1425元，
則在淡季，購(gòu)買人數(shù)y與價(jià)格x的關(guān)系為y=cx-1425c （c＜0），
R=（x-500）（cx-1425c）=c（x-500）（x-1425）
=c（x²-1925x+500×1425）
=c[（x-962.5）²+500×1425-962.5²]
∵c＜0
∴當(dāng)x=962.5的時(shí)候利潤(rùn)R有最大值．
答：在淡季銷售時(shí)商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)，羊絨衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為962.5元．
分析：首先設(shè)旺季購(gòu)買人數(shù)為：y=ax+b，由于標(biāo)價(jià)越高，購(gòu)買人數(shù)越少，可得a＜0，然后設(shè)總利潤(rùn)為R元，一件的利潤(rùn)就是x-500元，根據(jù)題意可得R=（x-500）（ax+b），利用配方法即可求得：y=a[x+（-250）]²-500b-a （-250）²，又由旺季商場(chǎng)以1200元/件價(jià)格銷售時(shí)，商場(chǎng)能獲取最大利潤(rùn)，即可得-250=-1200，則可得旺季購(gòu)買人數(shù)y與價(jià)格x的關(guān)系為y=ax-1900a，可求得旺季的無效價(jià)格，又由旺季的無效價(jià)格是淡季無效價(jià)格的倍，求得淡季的無效價(jià)格，由則在淡季，購(gòu)買人數(shù)y與價(jià)格x的關(guān)系為y=cx-1425c （c＜0），R=（x-500）（cx-1425c）=c（x-500）（x-1425），即可求得在淡季銷售時(shí)，商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)，羊絨衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為多少．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到等量關(guān)系，注意一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，注意配方法的應(yīng)用．