Question

（1）已知兩點A（0，2），B（4，1），點P是x軸上的一點，求PA+PB的最小值．
（2）C是x軸上任意一點，求△ABC的周長的最小值．

Answer 1

解：（1）如圖1，作出點B關(guān)于x軸的對稱點B′，過B′作B′M⊥y軸，M是垂足，連結(jié)AB′，交x軸于點P．
∵點B關(guān)于x軸的對稱點是B′，∴PB=PB′，
∴AB′=AP+PB′=AP+PB，
而A、B′兩點間線段最短，
∴AB′最短，（兩點之間，線段最短），即AP+PB最小，
∴在Rt△AMB′中，AM=3，MB′=4，
∴AB′=5．
即PA+PB的最小值為5；

（2）作BD⊥y軸于D．
∵A（0，2），B（4，1），
∴BD=4，AD=2-1=1．
∴AB=．
可求得AC+BC的最小值為5，
∴△ABC的周長的最小值為+5．
分析：（1）求兩線段之和最小，我們的想法是將兩條線段拼起來．關(guān)于線段最短，我們有“兩點之間，線段最短”．因此問題的關(guān)鍵是怎樣進行轉(zhuǎn)化．
（2）△ABC的周長即為AB+AC+BC，由于A、B點的坐標已知，故AB的長度可求出，因此問題轉(zhuǎn)化為求AC+BC的最小值．
點評：此題主要考查了軸對稱最短路線問題，求兩線段之和最小的基本方法是作其中一個已知點關(guān)于直線的對稱點，從而將兩條線段之和轉(zhuǎn)化為另一個已知點與對稱點之間的線段．