Question

如圖，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過點D作DE⊥BC，垂足為E．
（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）若∠A=30°，求∠ADE的度數(shù)．
（3）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足為F，若∠A=30°，AB=8，求弦DG的長，并求四邊形DFBE的面積．

Answer 1

考點：切線的判定,解直角三角形

專題：

分析：（1）連接OD，只要證明OD⊥DE即可．本題可根據(jù)等腰三角形中兩底角相等，將相等的角進行適當?shù)霓D(zhuǎn)換，即可證得OD⊥DE；
（2）根據(jù)∠ADO=∠A=30°，∠ODE=90°，即可求得；
（3）由∠A=30°，即可求得∠DOF=60°在直角三角形DFO中，有OD的值，根據(jù)正弦函數(shù)即可求得DG的值，連接BD，先求得△DBF≌△DBE，然后根據(jù)S_{四邊形DFBE}=2S_△DFB即可求得．

解答：（1）證明：連接OD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠ADO=∠C，
∴DO∥BC．
∵DE⊥BC，
∴DO⊥DE．
∵點D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：由（1）可知∠ADO=∠A=30°，∠ODE=90°，
∴∠ADE=∠ADO+∠ODE=30°+90°=120°．

（3）解：連接BD，∵∠DOF=∠A+∠ADO=60°，
在Rt△DOF中，OD=4，
∴DF=OD•sin∠DOF=4•sin60°=2

3

．
∵直徑AB⊥弦DG，
∴DF=FG．
∴DG=2DF=4

3

．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°
在Rt△DFB中
cot∠FBD=

BF

DF

，即cot60°=

BF

2 3

，
∴BF=2

3

×cot60°=2

3

×

3

3

=2，
∵AB=BC，BD⊥AC，
∴∠DBF=∠DBE，
在△DBF和△DBE中，

∠DBF=∠DBE ∠DFB=∠DEB=90° BD=BD

，
∴△DBF≌△DBE（AAS），
∴S_{四邊形DFBE}=2S_△DFB=2×

1

2

×DF．BF
=2×

1

2

×2

3

×2
=4

3

．

點評：本題考查了切線的判定，垂徑定理，解直角三角形等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．