【題目】對于平面內的點和點
,給出如下定義:點
為平面內的一點,若點
使得
是以
為頂角且
小于90°的等腰三角形,則稱點
是點
關于點
的銳角等腰點
.如圖,點
是點
關于點
的銳角等腰點.在平面直角坐標系
中,點
是坐標原點.
(1)已知點,在點
,
中,是點
關于點
的銳角等腰點的是___________.
(2)已知點,點
在直線
上,若點
是點
關于點
的銳角等腰點,求實數(shù)
的取值范圍.
(3)點是
軸上的動點,
,點
是以
為圓心,2為半徑的圓上一個動點,且滿足
.直線
與
軸和
軸分別交于點
,若線段
上存在點
關于點
的銳角等腰點,請直接寫出
的取值范圍.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)根據(jù)等腰銳角點的定義即得;
(2)先確定極限位置:直線與圓相切于第四象限及直線過(0,3)時b的值,進而確定范圍;
(3)分類討論:E點和F點位于線段HK左側;E點和F點位于線段HK右側;利用一線三垂直模型及相似三角形的性質確定極限位置t的值,進而確定范圍.
(1)∵點P是點關于點
的銳角等腰點,
∴OA=OP=2
如下圖:
當時,OP1=2,OP1⊥OA,不成立;
當時,過P2作P2M⊥x軸
∴OM=1,P2M=
∴在中,
∵
∴點是點
關于點
的銳角等腰點;
當時,
∴點不是點
關于點
的銳角等腰點;
當時,過P4作P4N⊥x軸
∴ON=,P4N=
∴在中,
,
∴點是點
關于點
的銳角等腰點.
∴點關于點
的銳角等腰點有
,
故答案為:
(2)以O為圓心,OA=3為半徑作圓,當直線與圓O相切與第四象限時,切點即為點
關于點
的銳角等腰點,如下圖點
.
由題意,得:OB=-b,OD=
∴在中,
∵
∴
解得:
如上圖:當直線過點E
時,
,OE⊥OA
∴要使在直線上存在點
是點
關于點
的銳角等腰點,
綜上所述:時,直線
上存在點
是點
關于點
的銳角等腰點 .
(3)如下圖:
當在直線左側,
時,過
作
∵
∴
∴
∵
∴KO=4,KH=,EH=4-t
∴EG=
∵要使線段上存在點
關于點
的銳角等腰點,則
∴
∴
當E點和F點位于線段HK右側時,即:時,如下圖,過E作EB⊥EF,過B作BM⊥x軸,過點F作FL⊥x軸
當時,
∴,
∵,
∴,
∴
∴
將點代入直線
得:
解得:
∴當時,線段
上存在點
關于點
的銳角等腰點.
∵,
∴,即
綜上所述:時,線段
上存在點
關于點
的銳角等腰點
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E,F分別在BC和CD上,下列結論:①CE=CF;②BD=1+;③BE+DF=EF;④∠AEB=75°.其中正確的序號是______.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線M:y=-x2+2bx+c與直線l:y=9x+14交于點A,其中點A的橫坐標為-2.
(1)請用含有b的代數(shù)式表示c: ;
(2)若點B在直線l上,且B的橫坐標為-1,點C的坐標為(b,5).
①若拋物線M還過點B,直接寫出該拋物線的解析式;
②若拋物線M與線段BC恰有一個交點,結合函數(shù)圖象,直接寫出b的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,函數(shù)(x>0)的圖象與直線l1:
交于點A,與直線l2:x=k交于點B.直線l1與l2交于點C.
(1) 當點A的橫坐標為1時,則此時k的值為 _______;
(2) 橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點. 記函數(shù)(x>0) 的圖像在點A、B之間的部分與線段AC,BC圍成的區(qū)域(不含邊界)為W.
①當k=3時,結合函數(shù)圖像,則區(qū)域W內的整點個數(shù)是_________;
②若區(qū)域W內恰有1個整點,結合函數(shù)圖象,直接寫出k的取值范圍:___________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,函數(shù)的圖象G經(jīng)過點
,直線
與y軸交于點B,與圖象G交于點C.
(1)求m的值.
(2)橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.記圖象G在點A,C之間的部分與線段BA,BC圍成的區(qū)域(不含邊界)為W.
①當直線l過點時,直接寫出區(qū)域W內的整點個數(shù).
②若區(qū)域W內的整點不少于4個,結合函數(shù)圖象,求k的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我校數(shù)學興趣小組的同學要測量建筑物的高度,如圖,建筑物
前有一段坡度為
的斜坡
,小明同學站在斜坡上的
點處,用測角儀測得建筑物屋頂
的仰角為
,接著小明又向下走了
米,剛好到達坡底
處,這時測到建筑物屋頂
的仰角為
,
、
、
、
、
、
在同一平面內.若測角儀的高度
米,則建筑物
的高度約為( ).(精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):
,
,
)
A.38.6B.39.0C.40.0D.41.5
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖①,點A表示小明家,點B表示學校.小明媽媽騎車帶著小明去學校,到達C處時發(fā)現(xiàn)數(shù)學書沒帶,于是媽媽立即騎車原路回家拿書后再追趕小明,同時小明步行去學校,到達學校后等待媽媽.假設拿書時間忽略不計,小明和媽媽在整個運動過程中分別保持勻速.媽媽從C處出發(fā)x分鐘時離C處的距離為y1米,小明離C處的距離為y2米,如圖②,折線O-D-E-F表示y1與x的函數(shù)圖像;折線O-G-F表示y2與x的函數(shù)圖像.
(1)小明的速度為 m/min,圖②中a的值為 .
(2)設媽媽從C處出發(fā)x分鐘時媽媽與小明之間的距離為y米.當12≤x≤30時,求出y與x的函數(shù)表達式.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】體育老師為了解本校九年級女生1分鐘“仰臥起坐”體育測試項目的達標情況,從該校九年級136名女生中,隨機抽取了20名女生,進行了1分鐘仰臥起坐測試,獲得數(shù)據(jù)如下:
收集數(shù)據(jù):抽取20名女生的1分鐘仰臥起坐測試成績(個)如下:
38 46 42 52 55 43 59 46 25 38
35 45 51 48 57 49 47 53 58 49
(1)整理、描述數(shù)據(jù):請你按如下分組整理、描述樣本數(shù)據(jù),把下列表格補充完整:
范圍 | |||||||
人數(shù) |
(說明:每分鐘仰臥起坐個數(shù)達到49個及以上時在中考體育測試中可以得到滿分)
(2)分析數(shù)據(jù):樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、滿分率如下表所示:
平均數(shù) | 中位數(shù) | 滿分率 |
46.8 | 47.5 |
得出結論:①估計該校九年級女生在中考體育測試中1分鐘“仰臥起坐”項目可以得到滿分的人數(shù);
②該中心所在區(qū)縣的九年級女生的1分鐘“仰臥起坐”總體測試成績如下:
平均數(shù) | 中位數(shù) | 滿分率 |
45.3 | 49 |
請你結合該校樣本測試成績和該區(qū)縣總體測試成績,為該校九年級女生的1分鐘“仰臥起坐”達標情況做一下評估.
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