Question

如圖，一次函數(shù)y=k₁x+b與反比例函數(shù)y=的圖象交于A（2，m），B（n，-2）兩點．過點B作BC⊥x軸，垂足為C，且S_△ABC=5．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式．
（2）若P（p，y₁），Q（-2，y₂）是函數(shù)y=圖象上的兩點，且y₁≥y₂，求實數(shù)p的取值范圍．
（3）若點M是y軸上滿足|MA-MB|取最大值的點，求點M的坐標．

Answer 1

解：（1）把A（2，m），B（n，-2）代入y=，
得：k₂=2m=-2n，
即m=-n，
則A（2，-n），
過A作AE⊥x軸于E，過B作BF⊥y軸于F，延長AE、BF交于D，
∵A（2，-n），B（n，-2），
∴BD=2-n，AD=-n+2，BC=|-2|=2，
∵S_△ABC=S_梯形BCAD-S_△BDA=5，
∴×（2-n+2）×2-×（2-n）×（-n+2），
解得：n=-3，
即A（2，3），B（-3，-2），
把A（2，3）代入y=，
得：k₂=6，
即反比例函數(shù)的解析式是y=；
把A（2，3），B（-3，-2）代入y=k₁x+b得：
，
解得：，
即一次函數(shù)的解析式是y=x+1；

（2）分為兩種情況：當(dāng)點P在第三象限時，要使y₁≥y₂，實數(shù)p的取值范圍是p≤-2，
當(dāng)點P在第一象限時，要使y₁≥y₂，實數(shù)p的取值范圍是p＞0，
即實數(shù)p的取值范圍是p≤-2或p＞0；

（3）如圖，作點A關(guān)于y軸的對稱點A′，作直線A′B，交y軸于點M，連結(jié)MA，則MA=MA′，|MA-MB|=|MA′-MB|=AB最大．
設(shè)直線A′B的解析式為y=mx+n，
將A′（-2，3），B（-3，-2）兩點的坐標代入，
得，解得，
∴直線A′B的解析式為y=5x+13，
當(dāng)x=0時，y=13，
∴點M的坐標為（0，13）．
分析：（1）把A、B的坐標代入反比例函數(shù)解析式求出m=-n，過A作AE⊥x軸于E，過B作BF⊥y軸于F，延長AE、BF交于D，求出梯形BCAD的面積和△BDA的面積，即可得出關(guān)于n的方程，求出n的值，得出A、B的坐標，代入反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，即可求出答案；
（2）分為兩種情況：當(dāng)點P在第三象限時和當(dāng)點P在第一象限時，根據(jù)坐標和圖象即可得出答案；
（3）作點A關(guān)于y軸的對稱點A′，設(shè)直線A′B的解析式為y=mx+n，將A′、B兩點的坐標代入，運用待定系數(shù)法求出直線A′B的解析式，與y軸的交點即為點M．
點評：本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形的面積、軸對稱的性質(zhì)等知識，主要考查學(xué)生運用性質(zhì)進行計算的能力，題目比較好，有一定的難度，運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．