Question

如圖，一次函數(shù)y=k₁x+b與反比例函數(shù)y=的圖象交于A（2，m），B（n，-2）兩點(diǎn)．過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C，且S_△ABC=5．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式．
（2）若P（p，y₁），Q（-2，y₂）是函數(shù)y=圖象上的兩點(diǎn)，且y₁≥y₂，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．
（3）若點(diǎn)M是y軸上滿足|MA-MB|取最大值的點(diǎn)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）把A（2，m），B（n，-2）代入y=，
得：k₂=2m=-2n，
即m=-n，
則A（2，-n），
過A作AE⊥x軸于E，過B作BF⊥y軸于F，延長AE、BF交于D，
∵A（2，-n），B（n，-2），
∴BD=2-n，AD=-n+2，BC=|-2|=2，
∵S_△ABC=S_梯形BCAD-S_△BDA=5，
∴×（2-n+2）×2-×（2-n）×（-n+2），
解得：n=-3，
即A（2，3），B（-3，-2），
把A（2，3）代入y=，
得：k₂=6，
即反比例函數(shù)的解析式是y=；
把A（2，3），B（-3，-2）代入y=k₁x+b得：
，
解得：，
即一次函數(shù)的解析式是y=x+1；

（2）分為兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，要使y₁≥y₂，實(shí)數(shù)p的取值范圍是p≤-2，
當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，要使y₁≥y₂，實(shí)數(shù)p的取值范圍是p＞0，
即實(shí)數(shù)p的取值范圍是p≤-2或p＞0；

（3）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，作直線A′B，交y軸于點(diǎn)M，連結(jié)MA，則MA=MA′，|MA-MB|=|MA′-MB|=AB最大．
設(shè)直線A′B的解析式為y=mx+n，
將A′（-2，3），B（-3，-2）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，
得，解得，
∴直線A′B的解析式為y=5x+13，
當(dāng)x=0時(shí)，y=13，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，13）．
分析：（1）把A、B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出m=-n，過A作AE⊥x軸于E，過B作BF⊥y軸于F，延長AE、BF交于D，求出梯形BCAD的面積和△BDA的面積，即可得出關(guān)于n的方程，求出n的值，得出A、B的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，即可求出答案；
（2）分為兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，根據(jù)坐標(biāo)和圖象即可得出答案；
（3）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，設(shè)直線A′B的解析式為y=mx+n，將A′、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線A′B的解析式，與y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)M．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形的面積、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力，題目比較好，有一定的難度，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．