Question

如圖，在半徑為6cm的⊙O中，點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧上一點(diǎn)，且∠D=30°，下列四個(gè)結(jié)論：

①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四邊形ABOC是菱形．

其中正確結(jié)論的序號(hào)是（　　）

A．①③ B．①②③④  C．②③④     D．①③④

Answer 1

B【考點(diǎn)】垂徑定理；菱形的判定；圓周角定理；解直角三角形．

【專題】幾何圖形問題．

【分析】分別根據(jù)垂徑定理、菱形的判定定理、銳角三角函數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．

【解答】解：∵點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，OA過圓心，

∴OA⊥BC，故①正確；

∵∠D=30°，

∴∠ABC=∠D=30°，

∴∠AOB=60°，

∵點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，

∴BC=2CE，

∵OA=OB，

∴OA=OB=AB=6cm，

∴BE=AB•cos30°=6×=3cm，

∴BC=2BE=6cm，故②正確；

∵∠AOB=60°，

∴sin∠AOB=sin60°=，

故③正確；

∵∠AOB=60°，

∴AB=OB，

∵點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，

∴AC=AB，

∴AB=BO=OC=CA，

∴四邊形ABOC是菱形，

故④正確．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、菱形的判定、圓周角定理、解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，是一道好題．