Question

如圖①，是等邊三角形，是頂角的等腰三角形，以為頂點作一個角，角兩邊分別交邊于兩點，連接.

（1）探究：線段之間的關(guān)系，并加以證明。

（2）若點是的延長線上的一點，是的延長線上的點，其它條件不變，請你再探線段之間的關(guān)系，在圖②中畫出圖形，直接寫出結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

（1）MN=BM+NC．理由如下：

延長AC至E，使得CE=BM（或延長AB至E，使得BE=CN），并連接DE．

∵△BDC為等腰三角形，△ABC為等邊三角形，

∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，

又BD=DC，且∠BDC=120°，

∴∠DBC=∠DCB=30°

∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，

∴∠MBD=∠ECD=90°，

在△MBD與△ECD中，BD=CD，∠MBD=∠ECD，CE=BM，

∴△MBD≌△ECD（SAS），

∴MD=DE，

∴△DMN≌△DEN，

∴MN=BM+NC．

（2）按要求作出圖形，（1）中結(jié)論不成立，應(yīng)為MN=NC﹣BM．

在CA上截取CE=BM．

∵△ABC是正三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°，

又∵BD=CD，∠BDC=120°，

∴∠BCD=∠CBD=30°，

∴∠MBD=∠ECD=90°，

又∵CE=BM，BD=CD，

∴△BMD≌△CED（SAS），

∴DE=DM，

又∵ND=ND，∠EDN=∠MDN=60°，MD=ED，

∴△MDN≌△EDN（SAS），

∴MN=NE=NC﹣CE=NC﹣BM．

【解析】（1）延長AC至E，使得CE=BM并連接DE，構(gòu)造全等三角形，找到相等的線段，MD=DE，再進一步證明△DMN≌△DEN，進而得到MN=BM+NC．

（2）按要求作出圖形，先證△BMD≌△CED，再證△MDN≌△EDN（SAS），即可得出結(jié)論．