Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD與AE、AF分別相交于G、H．
（1）求證：△ABE∽△ADF；
（2）若AG=AH，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用兩角對應相等可證出△ABE∽△ADF；
（2）利用（1）的結論，先證出△ABG≌△ADH，得到AB=AD，那么平行四邊形ABCD是菱形．
解答：證明：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90度．（2分）
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABE=∠ADF．（4分）
∴△ABE∽△ADF．（5分）

（2）∵△ABE∽△ADF，
∴∠BAG=∠DAH．
∵AG=AH，
∴∠AGH=∠AHG，
從而∠AGB=∠AHD，
∴△ABG≌△ADH，（8分）
∴AB=AD．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是菱形．（10分）
點評：本題利用了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質以及菱形的判定．