Question

（本題10分）如圖1，拋物線y=－x2＋2bx＋c（b＞0）與y軸交于點C，點P為拋物線頂點，分別作點P，C關(guān)于原點O的對稱點P′，C′，順次連接四點得四邊形PC P′C′．

（1）當(dāng)b=c=1時，求頂點P的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)b=2，四邊形PC P′C′為矩形時（如圖2），求c的值；

（3）請你探究：四邊形PCP′C′能否成為正方形？若能，求出符合條件的b，c的值；若不能，請說明理由．

 

Answer 1

（1）F（1，2）；（2）；（3）能， c=－1, b=1

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)b=c=1時，y=－x2＋2x＋1=－（x－1）2＋2

∴頂點P的坐標(biāo)為（1，2）

（2）當(dāng)b=2時，

∴頂點P的坐標(biāo)為（2，4＋c）

當(dāng)時， ∴點C的坐標(biāo)為（0，c）

當(dāng)四邊形PC P′C′為矩形時OP=OC

即

解得

（3）當(dāng)四邊形PCP′C′能成為正方形時，PP′⊥CC′ 且OP=OC

此時點P必在軸上， ∴ ①

∵OP=OC 點C必在y軸負(fù)半軸上 ∴②

由①②得，c=0(舍去)，c=－1, b=1

考點:二次函數(shù)的綜合運用