Question

如圖，在銳角△ABC中，∠ACB=45°，AB=1．分別以A、B為直角頂點，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，再分別過點E、F作邊AB所在直線的垂線，垂足為M，N．

（1）求證：EM+FN=AB；
（2）求△ABC面積的最大值；
（3）當△ABC面積最大時，在直線MN上找一點P，使得EP+FP的值最小，求出這個最小值．（結果可保留根號）

Answer 1

解：（1）過C作CG⊥AB，
∴∠CAG+∠ACG=90°，
∵△AEC為等腰直角三角形，
∴∠EAC=90°，AE=AC，
∴∠CAG+∠EAM=90°，
∴∠ACG=∠EAM，
∵在△ACG和△EAM中，
，
∴△ACG≌△EAM（AAS），
∴EM=AG，
同理GB=FN，
∴AB=AG+GB=EM+FN；

（2）在△ABC中，∠ACB=45°，AB=1，
∴根據(jù)余弦定理得：AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB，
即1=AC²+BC²-AC•BC≥2AC•BC-AC•BC=（2-）AC•BC，
∴AC•BC≤=，即AC•BC的最大值為，此時AC=BC取等號，
則△ABC面積的最大值為AC•BCcos∠ACB=；


（3）當△ABC面積最大時，AC=BC，作出E、F關于MN的對稱點E′、F′，連接E′F，過G點，
當P與G重合時，EP+FP最小，最小距離為E′F，
作出△ABC的外接圓，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=90°，
∵OA=OB，∴△AOB為等腰直角三角形，
∵AB=1，∴OA=OB=OC=，OG=AG=BG=，
∴MA=CG=NB=，
∴E′F′=MN=MA+AB+NB=2CG+AB=+1+1=+2，F(xiàn)F′=1，
在Rt△E′FF′中，根據(jù)勾股定理得：E′F==，
則EP+FP的最小值為．
分析：（1）過C作CG垂直于AB，由EA垂直于AC，利用平角的定義得到一對角互余，再由CG垂直于AG，得到一對角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等及AE=AC，利用AAS得到三角形ACG與三角形AEM全等，利用全等三角形的對應邊相等得到EM=AG，同理得到BG=FN，由AB=AG+GB，等量代換即可得證；
（2）在三角形ABC中，由∠ACB的度數(shù)及AB的長，利用余弦定理列出關系式，再利用基本不等式變形求出AC•BC的最大值，再利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值；
（3）根據(jù)三角形ABC面積最大時，AC=BC，作出E、F關于MN的對稱點E′、F′，連接E′F，過G點，當P與G重合時，EP+FP最小，最小距離為E′F，作出△ABC的外接圓，由∠ACB=45°，利用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半得到∠AOB=90°，再由OA=OB，得到三角形AOB為等腰直角三角形，由AB的長求出三角形ABC外接圓半徑長，以及OG的長，由CO+OG求出CG的長，即為MA與NB的長，由MA+AB+NB求出MN長，即為E′F′長，在直角三角形E′FF′中，由E′F′與FF′長，利用勾股定理求出E′F的長，即為EP+FP的最小值．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，圓周角定理，軸對稱-最短線路問題，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．