Question

已知關(guān)于x的方程x²+（2k-1）x+k²=0的兩根x₁、x₂滿足x₁²-x₂²=0．若直線y=kx（x＞0）上有一點(diǎn)M，過M作MP⊥x軸于P．若OM=
①求k的值．  ②求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：①由關(guān)于x的一元二次方程有根，得到根的判別式大于等于0，列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x₁+x₂，把x₁²-x₂²=0等號左邊分解因式，根據(jù)兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0，得到x₁+x₂=0或x₁-x₂=0，當(dāng)x₁+x₂=0時，表示出的兩根之和為0，求出k的值，利用k的范圍檢驗(yàn)不合題意，舍去；當(dāng)x₁-x₂=0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，求出此時k的值即可；
②由第一問求出的k值確定出直線y=kx的方程，設(shè)出M的坐標(biāo)為（a，b），由題意得到a與b都大于0，把M的坐標(biāo)代入直線方程，得到a與b的方程，記作①，又三角形OMP為直角三角形，由OM，OP及PM的上，利用勾股定理表示出a與b的令一個關(guān)系式，記作②，聯(lián)立①②即可求出a與b的值，進(jìn)而確定出M的坐標(biāo)．
解答：解：①由方程的兩個實(shí)數(shù)根為x₁、x₂，
得到b²-4ac=（2k-1）²-4k²≥0，解得：k≤，
∴x₁+x₂=-（2k-1）=1-2k，
∵x₁²-x₂²=（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，
∴x₁+x₂=0或x₁-x₂=0，
當(dāng)x₁+x₂=0，即1-2k=0，解得：k=（不合題意，舍去）；
當(dāng)x₁-x₂=0，即x₁=x₂，可得b²-4ac=（2k-1）²-4k²=0，
整理得：4k=1，解得：k=；

②設(shè)M的坐標(biāo)為（a，b）（a＞0，b＞0），
∵直線的方程為y=x過此點(diǎn)，
∴把此點(diǎn)代入直線方程得：b=a，即a=4b，①
又∵△OMP為直角三角形，OM=，OP=a，MP=b，
根據(jù)勾股定理得：OM²=OP²+MP²，即a²+b²=17，②
①代入②得：16b²+b²=17，即b²=1，
解得：b=1或b=-1（舍去），
把b=1代入①得：a=4，
則M的坐標(biāo)為（4，1）．
點(diǎn)評：此題屬于一次函數(shù)的綜合題，涉及的知識有：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，不解方程判斷方程解的情況，勾股定理，以及一次函數(shù)的性質(zhì)，注意第一小問k的值有兩解，應(yīng)根據(jù)根的判別式作出取舍．