Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸的正半軸上，OA=3，OC=2．動點D在線段BC上移動（不與B、C重合），連接OD，作DE⊥OD交邊AB于點E，連接OE．設(shè)CD的長為t．
（1）當(dāng)t=1時，求直線DE的解析式．
（2）設(shè)梯形COEB的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．
（3）是否存在t的值，使得OE的長取得最小值？若存在，求出此時t的值并求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，∵四邊形OABC是矩形，且DE⊥OD，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°．
∴∠1=∠3．
又∵∠OCD=∠B=90°，
∴△OCD∽△DBE．
∴．
∴當(dāng)t=1時，，
∴BE=1．
∴點E的坐標(biāo)為（3，1）．
設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，
又∵點D的坐標(biāo)為（1，2），
∴直線DE的解析式為．

（2）由（1）得，即．
∴BE=．
∴S=（BE+CO）•BC=-t²+t+3．自變量t的取值范圍是：0＜t＜3．

（3）存在t的值，使得OE的長取得最小值．
因為Rt△OAE的直角邊OA的長為定值，所以當(dāng)Rt△OAE的面積最小時，AE的長最小，即OE的長最�。�而當(dāng)Rt△OAE的面積最小時，就是梯形COEB的面積最大時．
由（2）S=-t²+t+3=-（t-）²+可知，
當(dāng)時滿足此要求．此時，AE=2-BE=．
∴點E的坐標(biāo)為（3，）．
分析：（1）四邊形OABC是矩形，且DE⊥OD，易證得△OCD∽△DBE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得當(dāng)t=1時，，即可求得點E的坐標(biāo)為（3，1）．又由點D的坐標(biāo)為（1，2），由待定系數(shù)法即可求得直線DE的解析式；
（2）由（1）得，即可求得BE的值，又由S=（BE+CO）•BC即可求得答案；
（3）因為Rt△OAE的直角邊OA的長為定值，所以當(dāng)Rt△OAE的面積最小時，AE的長最小，即OE的長最�。�而當(dāng)Rt△OAE的面積最小時，就是梯形COEB的面積最大時．根據(jù)二次函數(shù)最值的求解方法即可求得答案．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及二次函數(shù)的最值問題等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．