Question

已知拋物線y=x²-mx+m-2．
（1）求證：此拋物線與x軸有兩個不同的交點；
（2）若m是整數，拋物線y=x²-mx+m-2與x軸交于整數點，求m的值；
（3）在（2）的條件下，設拋物線的頂點為A，拋物線與x軸的兩個交點中右側交點為B．若m為坐標軸上一點，且MA=MB，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）與x軸有兩個交點即是△＞0，只要表示出△，通過配方得到（m-2）²+4即可說明此拋物線與x軸有兩個不同的交點；
（2）因為關于x的方程x²-mx+m-2=0的根為，
由m為整數，當（m-2）²+4為完全平方數時，此拋物線與x軸才有可能交于整數點．列方程即可求得；
（3）首先確定函數的解析式，根據題意求得A，B的坐標，根據題意列方程即可．
解答：（1）證明：令y=0，則x²-mx+m-2=0．
因為△=m²-4m+8=（m-2）²+4＞0，（1分）
所以此拋物線與x軸有兩個不同的交點．（2分）

（2）解：因為關于x的方程x²-mx+m-2=0的根為x==，
由m為整數，當（m-2）²+4為完全平方數時，此拋物線與x軸才有可能交于整數點．
設（m-2）²+4=n²（其中n為整數），（3分）
則[n+（m-2）][n-（m-2）]=4
因為n+（m-2）與n-（m-2）的奇偶性相同，
所以
或
解得m=2．
經過檢驗，當m=2時，方程x²-mx+m-2=0有整數根．
所以m=2．（5分）

（3）解：當m=2時，
此二次函數解析式為y=x²-2x=（x-1）²-1，
則頂點坐標為（1，-1）．
拋物線與x軸的交點為O（0，0）、B（2，0）．
設拋物線的對稱軸與x軸交于點M₁，則M₁（1，0）．
在直角三角形AM₁O中，由勾股定理，得．
由拋物線的對稱性可得，．
又因為，即OA²+AB²=OB²．
所以△ABO為等腰直角三角形．（6分）
則M₁A=M₁B．
所以M₁（1，0）為所求的點．（7分）
若滿足條件的點M₂在y軸上時，
設M₂坐標為（0，y），
過A作AN⊥y軸于N，連接AM₂、BM₂，則M₂A=M₂B．
由勾股定理，
即M₂A²=M₂N²+AN²；M₂B²=M₂O²+OB²，
即（y+1）²+1²=y²+2²．
解得y=1．
所以M₂（0，1）為所求的點．（8分）
綜上所述，滿足條件的M點的坐標為（1，0）或（0，1）．
點評：此題考查了學生的綜合應用能力，解題的關鍵是仔細審題，理解題意；特別是要注意數形結合思想的應用．此題屬于難度大的問題，要注意審題．