Question

【題目】（本題8分）已知△ABC的兩邊AB、AC的長恰好是關于x的方程x2＋(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5

(1) 求證：AB≠AC

(2) 如果△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，求k的值

(3) 填空：當k＝________時，△ABC是等腰三角形，△ABC的周長為________

Answer 1

【答案】(1)證明見解析(2) k＝－5(3) 14或16

【解析】試題分析：（1）通過根的判別式知道方程的兩根情況為不相等的兩實數(shù)根，可證明；

（2）依題意由勾股定理得k的值；

（3）由BC為腰，代入方程可求出k的值.

試題解析：(1) ∵△＝(2k＋3)2－4(k2＋3k＋2)＝1＞0

∴方程有兩個不相等的實數(shù)根

∴AB≠AC

(2)依題意得，AB2＋AC2＝BC2＝25

∵AB＋AC＝－(2k＋3)，AB·AC＝k2＋3k＋2

∴AB2＋AC2＝(AB＋AC)2－2AB·AC＝2k2＋6k＋5＝25

解得k1＝－5或k2＝2

∵AB＋AC＝－(2k＋3)＞0

∴k＜

∴k＝－5

(3) 依題意得，BC為等腰三角形的腰

將x＝5代入方程中，得25＋5(2k＋3)＋k2＋3k＋2＝0

解得k1＝－6，k2＝－7

此時周長為14或16