Question

（2002•桂林）已知：如圖，BC為半圓的直徑，O為圓心，D是弧AC的中點，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點E．
（1）求證：△ABE∽△DBC；
（2）已知BC=，CD=，求sin∠AEB的值；
（3）在（2）的條件下，求弦AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）在△ABE與△DBC中，有∠ABE=∠DBC，∠BAE=∠BDC=90°，根據相似三角形的判定，它們相似；
（2）由△ABE∽△DBC，可知∠AEB=∠DCB，在Rt△DCB中，先由勾股定理求出BD的值，再根據正弦的定義求出sin∠DCB，得出sin∠AEB的值；
（3）求弦AB的長，sin∠AEB的值已求，求出BE的值即可，可以通過求BD、ED得出．
解答：（1）證明：∵BC為半圓的直徑，
∴∠BAE=∠BDC=90°．
∵D是弧AC的中點，
∴∠ABE=∠DBC．
∴△ABE∽△DBC．

（2）解：在RT△DCB中，
∵∠BDC=90°，BC=，CD=，
∴BD=．
∴sin∠DCB=BD：BC=．
∵△ABE∽△DBC，
∴∠AEB=∠DCB．
∴sin∠AEB=．

（3）解：∵∠AEB=∠DEC，
∴sin∠DEC=．
∴EC=1.25，DE=，BD=．
BE=BD-DE=，AB=×sin∠AEB=1.5．
點評：本題考查了相似三角形的判斷，同弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角為直角及解三角函數的知識，本題是一道較難的題目．