Question

【題目】如圖，點(diǎn)A、C分別在一個(gè)含45°的直角三角板HBE的兩條直角邊BH和BE上，且BA＝BC，過(guò)點(diǎn)C作BE的垂線CD，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥AE交∠DCE的角平分線于F點(diǎn)，交HE于P．

（1）試判斷△PCE的形狀，并請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若∠HAE＝120°，AB＝3，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）△PCE是等腰直角三角形（2）6

【解析】

（1）根據(jù)∠PCE＝∠DCE＝×90°＝45°，求證∠CPE＝90°，然后即可判斷三角形的形狀．

（2）根據(jù)∠HEB＝∠H＝45°得HB＝BE，再根據(jù)BA＝BC和∠HAE＝120°，利用ASA求證△HAE≌△CEF，得AE＝EF，又因?yàn)?/span>AE＝2AB．然后即可求得EF．

（1）△PCE是等腰直角三角形，

理由如下：

∵∠PCE＝∠DCE＝×90°＝45°

∠PEC＝45°

∴∠PCE＝∠PEC

∠CPE＝90°

∴△PCE是等腰直角三角形

（2）∵∠HEB＝∠H＝45°

∴HB＝BE

∵BA＝BC

∴AH＝CE

而∠HAE＝120°

∴∠BAE＝60°，∠AEB＝30°

又∵∠AEF＝90°

∴∠CEF＝120°＝∠HAE

而∠H＝∠FCE＝45°

∴△HAE≌△CEF（ASA）

∴AE＝EF

又∵AE＝2AB＝2×3＝6

∴EF＝6