Question

如圖，在Rt△ABC內(nèi)有矩形PQMN，P、N分別在直角邊AB、AC上，Q、M在斜邊BC上，已知AB=4，AC=3，內(nèi)接矩形PQMN的周長等于

47

6

，則其面積等于

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：求出BC、AD的長度；證明△APN∽△ABC，列出比例式求出PN與PQ之間的數(shù)量關(guān)系；借助周長求出PN、PQ的長度，即可解決問題．

解答：解：如圖，由勾股定理得：BC²=AB²+AC²，
∵AB=4，AC=3，
∴BC=5；
由面積公式得：AB•AC=BC•AD，
∴AD=

12

5

=2.4．
∵四邊形PQMN是矩形，AD⊥BC，
∴PQ=ED（設(shè)為λ），AE=AD-λ，PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴

PN

BC

=

AE

AD

，即

PN

5

=

2.4-λ

2.4

，
∴PN=5-

25

12

λ；
∵矩形PQMN的周長等于

47

6

，
∴2λ+2（5-

25

12

λ）=

47

6

，
解得：λ=1，
∴矩形PQMN的面積=1×（5-

25

12

）=

35

12

．
故答案為：

35

12

．

點評：該題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)定理的應(yīng)用問題；牢固掌握定理是靈活解決問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．