Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（-4，

3

），且在x軸上截得的線段AB的長(zhǎng)為6．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在y軸上確定一點(diǎn)M，使MA+MC的值最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)N，使得以N、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？如果存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可得出拋物線的對(duì)稱軸，結(jié)合AB=6，可得出點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)處拋物線的頂點(diǎn)式，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出拋物線的解析式；
（2）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，可得 A'（1.0），連接A'C交y軸于一點(diǎn)即點(diǎn)M，此時(shí)MC+MA的值最小，求出直線A'C的解析式，繼而可確定點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）首先判斷出△ABC是等腰三角形，且頂角為120°，然后討論，①AB=AN₁，②AB=BN₂，③N₃A=N₃B，依次求出點(diǎn)N的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（-4，

3

），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-4．
∵拋物線在x軸上截得的線段AB的長(zhǎng)為6，
∴A（-1，0 ），B（-7，0  ），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+4）²+

3

，
代入點(diǎn)A坐標(biāo)可得：0=a（-1+4）²+

3

，
解得：a=-

3

9

，
故二次函數(shù)的解析式為：y=-

3

9

（x+4）²+

3

．

（2）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，可得 A'（1.0），
連接A'C交y軸于一點(diǎn)即點(diǎn)M，此時(shí)MC+MA的值最小，
設(shè)直線CA'的解析式為y=kx+b（k≠0），
代入點(diǎn)A'、點(diǎn)C的坐標(biāo)可得：

3 =-4k+b 0=k+b.

解得：

k=- 3 5 b= 3 5

，
則直線CA'的解析式為y=-

3

5

x+

3

5

，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ 0，

3

5

）．

（3）由（1）可知，C（-4，

3

），設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，則AD=3．
在Rt△ADC中，∵tan∠CAD=

CD

AD

=

3

3

，
∴∠CAD=30°，
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB=30°．
∴∠ACB=120°，
①如果AB=AN₁=6，過(guò)N₁作E N₁⊥x軸于E，
由△ABC∽△BA N₁得∠BA N₁=120°，
則∠EA N₁=60°．
∴N₁E=3

3

，AE=3．
∵A（-1，0 ），
∴OE=2．
∵點(diǎn)N在x軸下方，
∴點(diǎn)N₁（2，-3

3

），
②如果AB=BN₂，由對(duì)稱性可知N₂（-10，-3

3

），
③如果N₃A=N₃B，那么點(diǎn)N必在線段AB的中垂線即拋物線的對(duì)稱軸上，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn)N．
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)N₁ （2，-3

3

）與N₂ （-10，-3

3

）都在拋物線上．
綜上所述，存在這樣的點(diǎn)N，使△NAB∽△ABC，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，-3

3

）或（-10，-3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、軸對(duì)稱求最短路徑及相似三角形的判定，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，像此類綜合題，要求同學(xué)們一步一步的來(lái)，找準(zhǔn)突破口，將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通．