Question

如圖1，點(diǎn)A、B、D共線，點(diǎn)C、B、F共線，∠ACB=90°，∠ACB的角平分線與∠ABE的角平分線交與點(diǎn)F，DE∥CF．
（1）若∠D=95°，求∠F的度數(shù)；
（2）如圖2，若作∠BDE的角平分線交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交CF延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，探究∠CGD、∠BFC之間的數(shù)量關(guān)系并寫出理由；
（3）如圖3，若FB、ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，設(shè)∠P=α，請(qǐng)直接用含有α的代數(shù)式表示∠ABC，∠ABC=

90°-2α

．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)角平分線的定義得∠EBF=

1

2

∠ABE，∠BCF=∠ACN=45°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠EBF=∠BFC+45°，∠ABE=∠A+90°，易得∠BFC=

1

2

∠A，
由DE∥CF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BNC=∠D=95°，再次根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BNC=∠A+∠ACN，可計(jì)算出∠A=50°，于是得到∠BFC=25°；
（2）由DG平分∠BDE得∠GDE=∠GDA，由CG∥DE得∠GDE=∠CGD，則∠GDA=∠CGD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠GDA+∠CGD=∠A+∠ACF，則2∠CGD=2∠BFC+45°，所以∠CGD-∠BFC=22.5°；
（3）由（1）得∠F=

1

2

∠A，再由CG∥DE得∠P=∠F，則∠A=2∠P=2α，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到∠ABC=90°-2α．

解答：解：（1）∵∠ACB的角平分線與∠ABE的角平分線交與點(diǎn)F，而∠ACB=90°，
∴∠EBF=

1

2

∠ABE，∠BCF=∠ACN=45°，
∵∠EBF=∠BFC+45°，∠ABE=∠A+90°，
∴∠BFC+45°=

1

2

（∠A+90°），
∴∠BFC=

1

2

∠A，
∵DE∥CF，
∴∠BNC=∠D=95°，
而∠BNC=∠A+∠ACN，
∴∠A+45°=95°，
∴∠A=50°，
∴∠BFC=

1

2

∠A=25°；

（2）∠CGD-∠BFC=22.5°．理由如下：
∵DG平分∠BDE，
∴∠GDE=∠GDA，
∵CG∥DE，
∴∠GDE=∠CGD，
∴∠GDA=∠CGD，
∵∠GDA+∠CGD=∠A+∠ACF=∠A+45°，
∴2∠CGD=2∠BFC+45°，
∴∠CGD-∠BFC=22.5°；

（3）∵CG∥DE，
∴∠P=∠F，
∵∠F=

1

2

∠A，
∴∠A=2∠P=2α，
∴∠ABC=90°-∠A=90°-2α．
故答案為90°-2α．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)．