已知:Rt△OAB在直角坐標系中的位置如圖所示,P(3,4)為OB的中點,點C為折線OAB上的動點,線段PC把Rt△OAB分割成兩部分. 問:點C在什么位置時,分割得到的三角形與Rt△OAB相似?(注:在圖上畫出所有符合要求的線段PC,并寫出相應的點C的坐標).
C1(3,0),C2(6,4),C3(6,),圖形見解析.
解析試題分析:按照公共銳角進行分類,可以分為兩種情況:當∠BOA為公共銳角時,只存在∠PCO為直角的情況;當∠B為公共銳角時,存在∠PCB和∠BPC為直角兩種情況.
試題解析:過P作PC1⊥OA,垂足是C1,
則△OC1P∽△OAB.
點C1坐標是(3,0).
過P作PC2⊥AB,垂足是C2,
則△PC2B∽△OAB.
點C2坐標是(6,4).
過P作PC3⊥OB,垂足是P(如圖),
則△C3PB∽△OAB,
∴.
易知OB=10,BP=5,BA=8,
∴.
∴C3(6,).
符合要求的點C有三個,其連線段分別是PC1,PC2,PC3(如圖).
考點:相似變換.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在?ABCD中,E,F(xiàn)分別為BC,AB中點,連接FC,AE,且AE與FC交于點G,AE的延長線與DC的延長線交于點N.
(1)求證:△ABE≌△NCE;
(2)若AB=3n,F(xiàn)B=GE,試用含n的式子表示線段AN的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知矩形OABC的頂點O(0,0)、A(4,0)、B(4,-3).動點P從O出發(fā),以每秒1個單位的速度,沿射線OB方向運動.設運動時間為t秒.
(1)求P點的坐標(用含t的代數(shù)式表示);
(2)如圖,以P為一頂點的正方形PQMN的邊長為2,且邊PQ⊥y軸.設正方形PQMN與矩形OABC的公共部分面積為S,當正方形PQMN與矩形OABC無公共部分時,運動停止.
①當t<4時,求S與t之間的函數(shù)關系式;
②當t>4時,設直線MQ、MN分別交矩形OABC的邊BC、AB于D、E,問:是否存在這樣的t,使得△PDE為直角三角形?若存在,請求出所有符合條件的t的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖①,正方形ABCD中,點A、B的坐標分別為(0,10),(8,4),點C在第一象限.動點P在正方形ABCD的邊上,從點A出發(fā)沿A?B?C?D勻速運動,同時動點Q以相同速度在x軸正半軸上運動,當P點到達D點時,兩點同時停止運動,設運動的時間為t秒.
(1)當P點在邊AB上運動時,點Q的橫坐標x(長度單位)關于運動時間t(秒)的函數(shù)圖象如圖②所示,請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度;
(2)求正方形邊長及頂點C的坐標;
(3)如果點P、Q保持原速度不變,當點P沿A?B?C?D勻速運動時,OP與PQ能否相等?若能,求出所有符合條件的t的值;若不能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
提出問題:如圖①,在四邊形ABCD中,點E、F是AD的n等分點中最中間2個,點G、H是BC的n等分點中最中間2個,(其中n為奇數(shù)),連接EG、FH,那么S四邊形EFHG與S四邊形ABCD之間有什么關系呢?
探究發(fā)現(xiàn):為了解決這個問題,我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手:
(1)如圖②:四邊形ABCD中,點E、F是AD的3等分點,點G、H是BC的3等分點,連接EG、FH,那么S四邊形EFHG與S四邊形ABCD之間有什么關系呢?
如圖③,連接EH、BE、DH,
因為△EGH與△EBH高相等,底的比是1:2,
所以S△EGH=S△EBH
因為△EFH與△DEH高相等,底的比是1:2,
所以S△EFH=S△DEH
所以S△EGH+S△EFH=S△EBH +S△DEH
即S四邊形EFHG=S四邊形EBHD
連接BD,
因為△DBE與△ABD高相等,底的比是2:3,
所以S△DBE=S△ABD
因為△BDH與△BCD高相等,底的比是2:3,
所以S△BDH=S△BCD
所以S△DBE +S△BDH=S△ABD+S△BCD =(S△ABD+S△BCD)
=S四邊形ABCD
即S四邊形EBHD=S四邊形ABCD
所以S四邊形EFHG=S四邊形EBHD=×S四邊形ABCD=S四邊形ABCD
(1)如圖④:四邊形ABCD中,點E、F是AD的5等分點中最中間2個,點G、H是BC的5等分點中最中間2個,連接EG、FH,猜想:S四邊形EFHG與S四邊形ABCD之間有什么關系呢
驗證你的猜想:
(2)問題解決:如圖①,在四邊形ABCD中,點E、F是AD的n等分點中最中間2個,點G、H是BC的n等分點中最中間2個,連接EG、FH,(其中n為奇數(shù))
那么S四邊形EFHG與S四邊形ABCD之間的關系為: (不必寫出求解過程)
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