Question

已知⊙O是等腰梯形ABCD的內(nèi)切圓，上底AD=a，下底BC=b，則其內(nèi)切圓的半徑OP為

ab

2

．

Answer 1

分析：設(shè)⊙O的半徑OP=r，過A作AE⊥BC于E，過D作DF⊥BC于F，過D作MN⊥AD交BC于N，得出四邊形AENM和四邊形DFNM是平行四邊形，推出AE=NM，由勾股定理得出BE=CF=

1

2

（b-a），求出AB=DC

1

2

（a+b），在Rt△ABE中，由勾股定理求出即可．

解答：解：設(shè)⊙O的半徑OP=r，
過A作AE⊥BC于E，過D作DF⊥BC于F，過D作MN⊥AD交BC于N，
則AE∥MN∥DF，
∵AD∥BC，
∴四邊形AENM和四邊形DFNM是平行四邊形，
∴AE=NM=DF=2r，AD=EF=b-a，
∵AB=DC，
∴由勾股定理得：BE=CF=

1

2

（b-a），
∵⊙O是等腰梯形ABCD的內(nèi)切圓，
∴AB=DC

1

2

（a+b），
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=

[ 1 2 (a+b)]2-[ 1 2 (b-a)]2

=

ab

，
∴OP=

ab

2

．
故答案為：

ab

2

．

點評：本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，切線性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AB和BE的長．