Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB為⊙O的直徑．動點P從A點開始沿AD邊向點D以1cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿CB邊向點B以3cm/s 的速度運動，P、Q 兩點同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t（s），求：
（1）t分別為何值時，四邊形PQCD為等腰梯形？
（2）t分別為何值時，直線PQ與⊙O相切？

Answer 1

【答案】分析：（1）只要PQ=CD，PD≠Q(mào)C，四邊形PQCD為等腰梯形，如圖，過P、D分別作BC的垂線，交BC于E、F點，則EF=PD，QE=FC=2，進而求出即可．
（2）因為點P、Q分別在線段AD和BC上的運動，可以統(tǒng)一到直線PQ的運動中，要探求時間t對直線PQ與⊙O位置關(guān)系的影響，可先求出t為何值時，直線PQ與⊙O相切這一整個運動過程中特殊點，再結(jié)合PQ的初始與終了位置一起加以考慮，設(shè)運動t秒時，直線PQ與⊙O相切于點G，如圖因為，AB=8，AP=t，BQ=26-3t，所以，PQ=26-2t，因而，過p做PH⊥BC，得HQ=26-4t，于是由勾股定理，可的關(guān)于t的一元二次方程，則t可求出．
解答：解：（1）如圖1，
由題意得，只要PQ=CD，PD≠Q(mào)C，四邊形PQCD為等腰梯形，
過P、D分別作BC的垂線交BC于E、F兩點，
則由等腰梯形的性質(zhì)可知，EF=PD，QE=FC=2，
所以3t-（24-t）=4，
解得t=7秒，
所以當t=7秒時，四邊形PQCD為等腰梯形．

（2）設(shè)運動t秒時，直線PQ與⊙O相切于點G，如圖2，過P作PH⊥BC于點H，
則PH=AB=8，BH=AP，
可得HQ=26-3t-t=26-4t，
由切線長定理得，PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t
由勾股定理得：PQ²=PH²+HQ²，即 （26-2t）²=8²+（26-4t）²
化簡整理得 3t²-26t+16=0，
解得t₁=或 t₂=8，
所以，當t₁=或 t₂=8時直線PQ與⊙O相切．
點評：此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系以及等腰梯形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，利用已知圖形構(gòu)造直角三角形進而利用勾股定理得出是解題關(guān)鍵．