Question

某商業(yè)公司為指導某種應季商品的生產(chǎn)和銷售，對三月份至七月份該商品的售價和成本進行了調(diào)研，結(jié)果如下：每件商品的售價M（元）與時間t（月）的關(guān)系可用一條線段上的點來表示（如圖1），每件商品的成本Q（元）與時間t（月）的關(guān)系可用一條拋物線的一部分上的點來表示（如圖2）．
（說明：圖1，圖2中的每個實心黑點所對應的縱坐標分別指相應月份的售價和成本．）
請你根據(jù)圖象提供的信息回答：
（1）每件商品在3月份出售時的利潤（利潤=售價-成本）是多少元？
（2）求圖2中表示的每件商品的成本Q（元）與時間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量的取值范圍）；
（3）你能求出三月份至七月份每件商品的利潤W（元）與時間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式嗎（請寫出計算過程，不要求寫自變量的取值范圍）？若該公司共有此種商品30000件，準備在一個月內(nèi)全部售完，請你計算一下至少可獲利多少元？

Answer 1

解：（1）每件商品在3月份出售時的利潤為5元；

（2）∵拋物線的頂點坐標為（6，4）
∴設拋物線的解析式為Q=a（t-6）²+4
∵拋物線過（3，1）點
∴1=a（3-6）²+4
解得：a=-∴Q=-（t-6）²+4=-t²+4t-8，其中t=3、4、5、6、7；

（3）設每件商品的售價M（元）與時間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式為M=kt+b
∵線段過（3，6）、（6，8）兩點
∴3k+b=6 6k+b=8
解得：k=，b=4
∴M=t+4，其中t=3、4、5、6、7
所以每件商品的利潤W（元）與時間t（月）的函數(shù)關(guān)系式為
W=M-Q=（t+4）-（-t²+4t-8）=t²-t+12
∴W=（t-5）²+，其中t=3、4、5、6、7
∴當t=5時，W的最小值為元
∴30000件商品一個月內(nèi)售完，至少獲利30000×=110000元．
答：30000件商品一個月內(nèi)售完，至少獲利110000元．
分析：（1）從圖易知3月份每件商品售價6元，成本1元，易求利潤；
（2）根據(jù)圖象特征設解析式為頂點式易求解析式；
（3）根據(jù)利潤的計算方法，顯然需求直線解析式，再求差，運用函數(shù)性質(zhì)計算利潤．
點評：此題難度在第3個問題：表示利潤．運用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值常用配方法或公式法．