Question

如圖，△ABC為等腰三角形，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于D，AC于E．
（1）證明：D點為BC中點．
（2）過D作⊙O切線交AC于M．求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD，因為AB是圓O的直徑，所以∠ADB=90°，即AD⊥BC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：“三線合一”即可證的D點為BC中點；
（2）連接OD，由DM為圓的切線，根據(jù)切線性質(zhì)得到OD垂直于DM，又AB為圓的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠AEB為直角，由O為AB中點，且D為BC中點，得到OD為三角形ABC的中位線，根據(jù)中位線定理得到OD與AC平行，根據(jù)兩直線平行同位角相等得到OD垂直于BE，從而得到BE與DM平行，由D為BC中點得到M也為CE中點，即DM為三角形BCE的中位線，根據(jù)中位線定理得到DM等于BE的一半，得證．
解答：證明：（1）連接AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴AD為△ABC的中線，
即D為BC的中點；

（2）連接OD，與BE交于點F，
∵DM為圓O的切線，∴OD⊥DM，即∠ODM=90°，
∵AB為圓O的直徑，∴∠AEB=90°，
∵O為AB中點，D為BC中點，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∴∠OFB=∠AEB=90°，即∠OFE=90°，
∴∠ODM=∠OFE，
∴BE∥DM，又D為BC中點，
∴M為EC中點，
∴DM為△BCE的中位線，
∴DM=BE．
點評：此題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，中位線定理以及圓周角定理，在遇到直徑有關(guān)的問題時，一般要構(gòu)造直徑所對的圓周角，這樣可以由直徑轉(zhuǎn)換為直角，有助于問題的解決；遇到切線時，常常連接圓心與切點，可得直角來解決問題，同時注意三角形的中位線平行于第三條邊，且等于第三邊的一半，常常利用此定理來證明線段之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系．