Question

（2009•盧灣區(qū)一模）如圖所示，矩形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上，AH為BC邊上的高，AH交DG于點(diǎn)P，已知AH=3，BC=5；
（1）設(shè)DG的長(zhǎng)為x，矩形DEFG面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及其定義域；
（2）根據(jù)（1）中所得y關(guān)于x的函數(shù)圖象，求當(dāng)矩形DEFG面積最大時(shí)，DG的長(zhǎng)為多少？矩形DEFG面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）易證得△ADG∽△ABC，那么它們的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)高的比相等，可據(jù)此求出AP的表達(dá)式，進(jìn)而可求出PH即DE、GF的長(zhǎng)，已知矩形的長(zhǎng)和寬，即可根據(jù)矩形的面積公式得到y(tǒng)、x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）題所得函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍，即可求出矩形的最大面積及對(duì)應(yīng)的DG的長(zhǎng)．
解答：解：（1）∵矩形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，
∴DG∥BC，（1分）
∴△ADG∽△ABC（2分）
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG
∴，
∴，（2分）
∴，（1分）
∴（0＜x＜5）；（2分）

（2）；（1分）
根據(jù)函數(shù)圖象可知，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是它的最高點(diǎn)，且在函數(shù)的定義域內(nèi)；（1分）
所以當(dāng)DG的長(zhǎng)為時(shí)，矩形DEFG面積最大為．（2分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，能夠根據(jù)相似三角形求出矩形的寬是解答此題的關(guān)鍵．