Question

如圖，矩形ABCD中，AD=2AB，E、F分別是AD、BC上的點，且線段EF過矩形對角線AC的中點，PF∥AC，則EF：BF的最小值是（　�。�

• A、

  2 5

  5

• B、

  2

  5

• C、

  2 5

  25

• D、

  1

  2

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì)

專題：

分析：過點O作OH⊥BC于H，設(shè)AB=x，BF=y，然后表示出FH、OH，再利用勾股定理列式求出OF，然后表示出EF，再求出比值，然后利用根的判別式解答即可．

解答：解：如圖，過點O作OH⊥BC于H，設(shè)AB=x，BF=y，
∵AD=2AB，
∴AD=2x，
∵線段EF過矩形對角線AC的中點，
∴FH=x-y，OH=

1

2

x，
由勾股定理得，OF=

(x-y)2+( 1 2 x)2

，
由矩形的對稱性，EF=2

(x-y)2+( 1 2 x)2

，
設(shè)EF：BF=m，
則m²=

4(x-y)2+x2

y2

，
整理得，（m²-4）y²+8xy-5x²=0，
△=（8x）²-4（m²-4）×（-5x²）≥0，
解得m²≥

4

5

，
所以，m≥

2 5

5

，
所以，m的最小值是

2 5

5

，
即EF：BF的最小值是

2 5

5

．
故選A．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，主要利用了矩形的性質(zhì)，勾股定理，根的判別式，作輔助線構(gòu)造出直角三角形并利用根的判別式列出不等式是解題的關(guān)鍵．