Question

（2013•婁底）已知：一元二次方程

1

2

x²+kx+k-

1

2

=0．
（1）求證：不論k為何實(shí)數(shù)時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)k＜0，當(dāng)二次函數(shù)y=

1

2

x²+kx+k-

1

2

的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B間的距離為4時(shí)，求此二次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的條件下，若拋物線的頂點(diǎn)為C，過(guò)y軸上一點(diǎn)M（0，m）作y軸的垂線l，當(dāng)m為何值時(shí)，直線l與△ABC的外接圓有公共點(diǎn)？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式△=b²-4ac的符號(hào)來(lái)判定已知方程的根的情況；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系（|x_A-x_B|=

(xA+xB)2-4xAxB

=4）列出關(guān)于k的方程，通過(guò)解方程來(lái)求k的值；
（3）根據(jù)直線與圓的位置的位置關(guān)系確定m的取值范圍．

解答：（1）證明：∵△=k²-4×

1

2

×（k-

1

2

）=k²-2k+1=（k-1）²≥0，
∴關(guān)于x的一元二次方程

1

2

x²+kx+k-

1

2

=0，不論k為何實(shí)數(shù)時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）令y=0，則

1

2

x²+kx+k-

1

2

=0．
∵x_A+x_B=-2k，x_A•x_B=2k-1，
∴|x_A-x_B|=

(xA+xB)2-4xAxB

=

4k2-8k+4

=2|k-1|=4，即|k-1|=2，
解得k=3（不合題意，舍去），或k=-1．
∴此二次函數(shù)的解析式是y=

1

2

x²-x-

3

2

；

（3）由（2）知，拋物線的解析式是y=

1

2

x²-x-

3

2

．
易求A（-1，0），B（3，0），C（1，-2），
∴AB=4，AC=2

2

，BC=2

2

．
顯然AC²+BC²=AB²，得△ABC是等腰直角三角形．AB為斜邊，
∴外接圓的直徑為AB=4，
∴-2≤m≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有：拋物線與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及直線與圓的關(guān)系，范圍較廣，難度較大．