Question

如圖，在⊙O中，AB是直徑，AD是弦，∠ADE=60°，∠C=30°．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若BC=3，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)OD，根據(jù)鄰補(bǔ)角和三角形外角性質(zhì)可得到∠ADC=120°，∠A=30°，則∠ODA=30°，于是可計(jì)算出∠ODC=∠ADC-∠ODA=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）由于在Rt△ODC中，∠C=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OC=2OD，則可計(jì)算出OD=3，然后利用DC=

3

OD求解．

解答：（1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵∠ADE=60°，∠C=30°，
∴∠ADC=180°-∠ADE=120°，∠A=∠ADE-∠C=30°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=30°，
∴∠ODC=∠ADC-∠ODA=90°，
∴OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△ODC中，∠C=30°，
∴OC=2OD，即OB+BC=2OD，
而OD=OB，BC=3，
∴OD+3=2OD，解得OD=3，
∴DC=

3

OD=3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．