已知:如圖,AB為⊙O的直徑,⊙O過BC的中點(diǎn)D,且DE⊥AC,
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若∠C=30°,CD=2
3
cm,求⊙O的半徑.
考點(diǎn):切線的判定
專題:
分析:(1)連接OD,根據(jù)三角形中位線求出OD∥AC,推出OD⊥DE,根據(jù)切線的判定推出即可;
(2)求出∠B=30°,解直角三角形求出即可.
解答:(1)證明:連接OD,如圖1,
∵D為BC中點(diǎn),AO=BO,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,
∵OD為半徑,
∴DE是⊙O的切線;

(2)解:如圖2,∵D為BC中點(diǎn),CD=2
3
cm,
∴BD=CD=2
3
cm,
∵OD∥AC,∠C=30°,
∴∠ODB=∠C=30°,
∵OD=OB,
∴∠B=∠ODB=30°,
連接AD,
∵AB是直徑,
∴∠ADB=90°,
∴AB=
BC
cos30°
=
2
3
3
2
=4(cm),
∴⊙O的半徑是2cm.
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓周角定理,三角形的中位線,平行線的性質(zhì)和判定,解直角三角形,切線的判定的應(yīng)用,題目比較好,綜合性比較強(qiáng).
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在數(shù)軸上將-1.5,4,0,-3,-
2
3
,
1
2
表示出來,并結(jié)合數(shù)軸用“<”將它們連接起來.

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