Question

在矩形ABCD中，點(diǎn)O在對角線BD上，以O(shè)D為半徑的⊙O與AD、BD分別交于點(diǎn)E、F，且∠ABE=∠DBC．
（1）求證：BE與⊙O相切；
（2）若sin∠ABE=，CD=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接OE．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠C=∠A=90°．
∴∠3=∠DBC，∠ABE+∠1=90°．
∵OD=OE，∠ABE=∠DBC，
∴∠2=∠3=∠ABE．
∴∠2+∠1=90°．
∴∠BEO=90°．
∵點(diǎn)E在⊙O上，
∴BE與⊙O相切；

（2）解：∵∠ABE=∠DBC，
∴sin∠DBC=sin∠ABE=．
∵DC=2，∠C=90°，
∴DB=6，
∵∠A=90°，
∴BE=3AE．
∵AB=CD=2，
利用勾股定理，得AE=，AD=4．
∴DE=．
連接EF．
∵DF是⊙O的直徑，
∴∠DEF=∠A=90°．
∴AB∥EF．
∴△DEF∽△DAB．
∴．
∴．
∴DF=．
∴⊙O的半徑為．
分析：（1）首先連接OE，由四邊形ABCD是矩形，∠ABE=∠DBC，可證得∠2+∠1=90°，即可得∠BEO=90°，則可證得BE與⊙O相切；
（2）由sin∠ABE=，CD=2，∠ABE=∠DBC，則可求得BC、AE，BE的長，繼而可求得DE的長，然后連接EF，易證得△DEF∽△DAB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得DF的長，即可得⊙O的半徑．
點(diǎn)評：此題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．