Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+2x+c（a＜0）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，OB＝OC＝3．

（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；

（2）如圖1，連接BC，點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的點(diǎn)，連接OD，CD，OD交BC于點(diǎn)F，當(dāng)S△COF：S△CDF＝3：2時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（3）如圖2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，），在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點(diǎn)D（1，4）或（2，3）；（3）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，點(diǎn)P（，）；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，點(diǎn)（﹣，﹣）

【解析】

(1)c=3，點(diǎn)B(3，0)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式：y=ax2+2x+3，解得a=﹣1即可得出答案；

(2)由S△COF：S△CDF=3：2得OF：FD=3：2，由DH∥CO得CO：DM=3：2，求得DM=2，而DM==2，即可求解；

(3)分點(diǎn)P在x軸上方、點(diǎn)P在x軸下方兩種情況，分別求解即可．

(1) ∵OB=OC=3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(0，3)，c=3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(3，0)，

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式：y=ax2+2x+3，解得：a=﹣1，

故拋物線的表達(dá)式為：y=﹣x2+2x+3；

(2)如圖，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)M，

∵S△COF：S△CDF=3：2，

∴OF：FD=3：2，

∵DH∥CO，

∴CO：DM= OF：FD=3：2，

∴DM=CO=2，

設(shè)直線BC的表達(dá)式為：，

將C(0，3)，B(3，0)代入得，

解得：，

∴直線BC的表達(dá)式為：y=﹣x+3，

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，﹣x2+2x+3)，則點(diǎn)M(x，﹣x+3)，

∴DM==2，

解得：x=1或2，

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(1，4)或(2，3)；

(3)①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，

取OG=OE，連接BG，過點(diǎn)B作直線PB交拋物線于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)M，使∠GBM=∠GBO，

則∠OBP=2∠OBE，過點(diǎn)G作GH⊥BM，如圖，

∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，)，

∴OE=，

∵∠GBM=∠GBO，GH⊥BM，GO⊥OB，

∴GH= GO=OE=，BH=BO=3，

設(shè)MH=x，則MG=，

在△OBM中，OB2+OM2=MB2，即，

解得：x=2，

故MG==，則OM=MG+ GO=+，

點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，4)，

設(shè)直線BM的表達(dá)式為：，

將點(diǎn)B(3，0)、M(0，4)代入得：，

解得：，

∴直線BM的表達(dá)式為：y=x+4，

解方程組

解得：x=3(舍去)或，

將x=代入 y=x+4得y=，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)；

②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如圖，過點(diǎn)E作EN⊥BP，直線PB交y軸于點(diǎn)M，

∵∠OBP=2∠OBE，

∴BE是∠OBP的平分線，

∴EN= OE=，BN=OB=3，

設(shè)MN=x，則ME=，

在△OBM中，OB2+OM2=MB2，即，

解得：，

∴，則OM=ME+ EO=+，

點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，-4)，

設(shè)直線BM的表達(dá)式為：，

將點(diǎn)B(3，0)、M(0，-4)代入得：，

解得：，

∴直線BM的表達(dá)式為：，

解方程組

解得：x=3(舍去)或，

將x=代入得，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)；

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(，)或(，) ．