Question

如圖，平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（-2，2），點B的坐標為（6，6），拋物線經過A、O、B三點，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點E．
（1）求點E的坐標；
（2）求拋物線的函數解析式；
（3）點F為線段OB上的一個動點（不與點O、B重合），直線EF與拋物線交于M、N兩點（點N在y軸右側），連接ON、BN，當點F在線段OB上運動時，求△BON面積的最大值，并求出此時點N的坐標；
（4）連接AN，當△BON面積最大時，在坐標平面內求使得△BOP與△OAN相似（點B、O、P分別與點O、A、N對應）的點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據A、B兩點坐標求直線AB的解析式，令x=0，可求E點坐標；
（2）設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，將A（-2，2），B（6，6），O（0，0）三點坐標代入，列方程組求a、b、c的值即可；
（3）依題意，得直線OB的解析式為y=x，設過N點且與直線OB平行的直線解析式為y=x+m，與拋物線解析式聯立，得出關于x的一元二次方程，當△=0時，△BON面積最大，由此可求m的值及N點的坐標；
（4）根據三角形相似的性質得到BO：OA=OP：AN=BP：ON，然后根據勾股定理分別計算出BO=6，OA=2，AN=，ON=，這樣可求出OP=，BP=，設P點坐標為（x，y），再利用勾股定理得到關于x，y的方程組，解方程組即可．
解答：解：（1）設直線AB解析式為y=kx+b，
將A（-2，2），B（6，6）代入，得，解得，
∴y=x+3，令x=0，
∴E（0，3）；

（2）設拋物線解析式為y=ax²+b′x+c，
將A（-2，2），B（6，6），O（0，0）三點坐標代入，得，解得，
∴y=x²-x

（3）依題意，得直線OB的解析式為y=x，設過N點且與直線OB平行的直線解析式為y=x+m，
聯立，得x²-6x-4m=0，當△=36+16m=0時，過N點與OB平行的直線與拋物線有唯一的公共點，則點N到BO的距離最大，所以△BON面積最大，
解得m=-，x=3，y=，即N（3，）；
此時△BON面積=×6×6-（+6）×3-××3=；

（4）過點A作AS⊥GQ于S，
∵A（-2，2），B（6，6），N（3，），
∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°，
OG=3，NG=，NS=，AS=5，
在Rt△SAN和Rt△NOG中，
∴tan∠SAN=tan∠NOG=，
∴∠SAN=∠NOG，
∴∠OAS-∠SAN=∠BOG-∠NOG，
∴∠OAN=∠NOB，
∴ON的延長線上存在一點P，使得△BOP∽△OAN，
∵A（-2，2），N（3，），
∵△BOP與△OAN相似（點B、O、P分別與點O、A、N對應），即△BOP∽△OAN，
∴BO：OA=OP：AN=BP：ON
又∵A（-2，2），N（3，），B（6，6），
∴BO=6，OA=2，AN=，ON=，
∴OP=，BP=，
設P點坐標為（4x，x），
∴16x²+x²=（）²，
解得x=，4x=15，
∵P、P′關于直線y=x軸對稱，
∴P點坐標為（15，）或（，15）．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．根據已知條件求直線、拋物線解析式，再根據圖形特點，將問題轉化為列方程組，利用代數方法解題．