Question

一元二次方程ax²-bx+c=0在（0，1）中有兩個不同的實數(shù)根，其中a，b，c是整數(shù)．求證：具有這種性質(zhì)的a的最小正整數(shù)值存在．

Answer 1

分析：求出b²-4ac＞0，求出當x=0、x=1時，y的值推出c（a-b+c）=ac-bc+c²＞0，解不等式得到bc-c²＜ac＜

b2

4

，求出當c＞0時，有b-c＜a＜

b2

4c

，推出

b2

4c

為正整數(shù)，分別討論①|(zhì)b|=2，c=1時，a無最小整數(shù)值；②|b|=4，c=1時，a有最小整數(shù)值1；③|b|=2，c=-1時，有-1＜a＜1或-1＜a＜3，此時a有最小整數(shù)值1，根據(jù)結論即可得到答案．

解答：證明：設f（x）=ax²-bx+c，
∵一元二次方程ax²-bx+c=0在（0，1）中有兩個不同的實數(shù)根，
∴b²-4ac＞0，且f（0）•f（1）＞0，即曲線的端點值同號，
當x=0時，y=c，
當x=1時，y=a-b+c，即c（a-b+c）=ac-bc+c²＞0，
解上述不等式bc-c²＜ac＜

b2

4

，a b c均為整數(shù)，c=0時不等式不成立，
∴c≠0，
∴b²≥4，
|b|≥2，
當c＞0時，有b-c＜a＜

b2

4c

，
則

b2

4c

為正整數(shù)，
|b|=2，c=1時，有-3＜a＜1或-1＜a＜1，此時a無最小整數(shù)值；
|b|=4，c=1時，有-5＜a＜4或3＜a＜4，此時a有最小整數(shù)值；
若c＜0，有

b2

4c

＜a＜b-c，且

b2

4c

為負整數(shù)，
|b|=2，c=-1時，有-1＜a＜1或-1＜a＜3，此時a有最小整數(shù)值，
綜合上述：a的最小整數(shù)值是1．
∴具有這種性質(zhì)的a的最小正整數(shù)值存在．

點評：本題主要考查對根的判別式，一元二次方程的根的分布等知識點的理解和掌握，能根據(jù)性質(zhì)進行推理是解此題的關鍵．