Question

如圖（1），已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是線段BC上一點，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG
（1）連接GD，求證：△ADG≌△ABE；
（2）連接FC，求證：∠FCN=45°，并說明理由；
（3）當(dāng)E點在CB的延長線上時，如圖（2），連接FC，則∠FCN等于多少度？請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，
∴AG=AE，AD=AB，∠GAE=∠BAD=90°，
∴∠GAE-∠DAE=∠DAB-∠DAE，
∴∠GAD=∠EAB，
在△ADG和△ABE中，
，
∴△ADG≌△ABE（SAS）．

（2）證明：過F作FQ⊥BC于Q，
∵四邊形ABCD、AEFG是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠EQF=∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEQ=90°，
∴∠BAE=∠FEQ，
在△ABE和△EQF中，
，
∴△ABE≌△EQF（AAS），
∴BE=FQ，AB=EQ=BC，
∴BC-EC=EQ-EC，
∴BE=CQ=FQ，
∵∠FQE=90°，
∴∠FCQ=∠CFQ=（180°-90°）=45°．

（3）解：∠FCN=135°，
理由是：過F作FQ⊥BC于Q，
∵四邊形ABCD、AEFG是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠EQF=∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEQ=90°，
∴∠BAE=∠FEQ，
在△ABE和△EQF中

∴△ABE≌△EQF（AAS），
∴BE=FQ，AB=EQ=BC，
∴BC-BQ=EQ-BQ，
∴BE=CQ=FQ，
∵∠FQE=90°，
∴∠FCQ=∠CFQ=（180°-90°）=45°，
∴∠FCN=180°-45°=135°．
分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AG=AE，AD=AB，∠GAE=∠BAD=90°，求出∠GAD=∠EAB，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可．
（2）過F作FQ⊥BC于Q，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC，∠ABE=∠EQF=∠AEF=90°，AE=EF，求出∠BAE=∠FEQ，證△ABE≌△EQF，推出BE=FQ，AB=EQ=BC，求出BE=CQ=FQ，即可得出∠FCQ=∠CFQ=45°．
（3）過F作FQ⊥BC于Q，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC，∠ABE=∠EQF=∠AEF=90°，AE=EF，求出∠BAE=∠FEQ，證△ABE≌△EQF，推出BE=FQ，AB=EQ=BC，求出BE=CQ=FQ，即可得出∠FCQ=∠CFQ=45°，即可求出答案．
點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，正方形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．