Question

把Rt△ABC如圖放置在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B在x軸上，∠ABC=90°，若點A的坐標為（0，4），AO=2OB，且∠OAB=∠BAC．
（1）求過點A、B、C三點的拋物線解析式；
（2）若一個動點P自O(shè)A的中點M出發(fā)，先到達x軸上的某點（設(shè)為點E），再到達拋物線的對稱軸上某點（設(shè)為點F），最后運動到點A．求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長；
（3）在AC上是否存在點Q，使得△QBC為等腰三角形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點C作CD⊥x軸于D，由A（0，4），AO=2BO，可知OB=2，B（2，0），再根據(jù)∠ABC=∠AOB=90°，∠OAB=∠BAC可得出△ABC∽△AOB，由相似三角形的性質(zhì)可知==2，由相似三角形的判定定理可得出△AOB∽△BDC，故可求出C點坐標，利用待定系數(shù)法求出過A、B、C三點的拋物線的解析式即可；
（2）求出（1）中拋物線的對稱軸方程，作A關(guān)于直線x=的對稱點A′，作M關(guān)于x軸的對稱點M′，連接A′M′交x軸于點E，交直線x=于點F，此時點P經(jīng)過的路線最短，由對稱性得：ME+FE+FA=A′M′，再根據(jù)勾股定理求出A′M′的長，得出直線直線A′M′的解析式，故可得出EF兩點的坐標；
（3）先用待定系數(shù)法求出過A、C兩點的直線解析式，設(shè)Q（x，-x+4），再分QB=QC；QC=BC；QB=BC三種情況利用兩點間的距離公式求出x的值，進而得出Q點的坐標即可．
解答：解：（1）過點C作CD⊥x軸于D．
∵A（0，4），AO=2BO，
∴OB=2，
∴B（2，0），
∵∠ABC=∠AOB=90°，∠OAB=∠BAC
∴△ABC∽△AOB
∴=，
∴==2，
∵∠OBA+∠CBD=90°，∠OBA+∠OAB=90°
∴∠OAB=∠CBD
∵∠CDB=∠AOB=90°
∴△AOB∽△BDC
∴==，
∴BD=2，DC=1
∴C（4，1），
∵拋物線過點A（0，4），
∴設(shè)拋物線解析式為：y=ax²+bx+4，
又∵拋物線過B（2，0），C（4，1），
∴解得：a=，b=-，
∴拋物線解析式為：y=x²-x+4；      

（2）由（1）中求出的拋物線的解析式可知，拋物線的對稱軸為：直線x=-=，
作A關(guān)于直線x=的對稱點A′，則A′（，4），
作M關(guān)于x軸的對稱點M′，則M′（0，-2），
連接A′M′交x軸于點E，交直線x=于點F，
則此時點P經(jīng)過的路線最短，
由對稱性得：ME+FE+FA=A′M′，
又∵A′M′==，
∵直線A′M′解析式為：y=x-2，
∴E（，0），F(xiàn)（，1）；

（3）∵A（0，4），B（2，0），C（4，1），
∴設(shè)過A、C兩點的直線解析式為：y=kx+b（k≠0），則，
∴過A、C兩點的直線解析式為：y=-x+4，
設(shè)Q（x，-x+4），
①若QB=QC時，則（x-2）²+（-x+4）²=（x-4）²+（-x+4-1）²，解得x=2，
即Q₁（2，）；
同理，②若QC=BC時，Q₂（）；
③若QB=BC時，Q₃（）．
點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的對稱軸公式和待定系數(shù)法求拋物線的解析式、兩點間的距離公式，在解答（3）時要注意分類討論．