【題目】如圖①、②、③、○n、…、M、N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCDE…的邊AB、BC上的點(diǎn),且BM=CN,連接OM、ON.

(1)求圖①中∠MON的度數(shù);

(2)圖②中∠MON的度數(shù)是_________,圖③中∠MON的度數(shù)是___________;

(3)試探究∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系(直接寫出答案).

【答案】(1)120°(2)90°,72°(3)∠MON=.

【解析】試題分析:連接BO,CO那么,:BM=CM,OBM=∠OCN,BO=CO,利用SAS證明△OBM≌△OCN,同理可得,1中的∠MON=∠BOC=120°,圖2中心角等于360°÷4=90°,圖3的中心角等于360°÷5=72°,所以,(1)120°,(2)90° 72°,(3)正n邊形時(shí), ∠MON=BOC=360°÷n, ∠MON是一定值,取特殊位置進(jìn)行分析,對(duì)三個(gè)圖取BM重合,NC重合,即可求出∠MON的值.

試題解析:(1)解法一:連接OB,OC,

∵正△ABC內(nèi)接于⊙O,

∴∠OBM=∠OCN=30°,∠BOC=120°.

又∵BM=CN,OB=OC,

∴△OBM≌△OCN,

∴∠BOM=∠OCN,

∴∠MON=∠BOC=120°.

解法二:連接OA,OB,

∵正△ABC內(nèi)接于⊙O,

AB=AC,∠OAM=∠OBN=30°,∠AOB=120°,

又∵BM=CN,

AM=BN,

又∵OA=OB,

∴△AOM≌△BON,

∴∠AOM=∠BON,

∴∠AON=∠AOB=120°.

(2)90°, 72°.

(3)∠MON=.

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