如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動(dòng)點(diǎn)M，N從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點(diǎn)A，B移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿BA向終點(diǎn)A移動(dòng)，連接PM，PN，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒，0＜t＜2.5）．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？
（2）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（1）當(dāng)t=時(shí)，以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似
（2）存在，當(dāng)t=時(shí)，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是

解析解：如圖，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．
∴根據(jù)勾股定理，得=5cm．
（1）以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，分兩種情況：
①當(dāng)△AMP∽△ABC時(shí)，，即，
解得t=；
②當(dāng)△APM∽△ABC時(shí)，，即，
解得t=0（不合題意，舍去）；
綜上所述，當(dāng)t=時(shí)，以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；
（2）存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．理由如下：
假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．
如圖，過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H．則PH∥AC，
∴，即，
∴PH=t，
∴S=S△ABC-S△BPH，
=×3×4-×（3-t）•t，
=（t-）2+（0＜t＜2.5）．
∵＞0，
∴S有最小值．
當(dāng)t=時(shí)，S最小值=．
答：當(dāng)t=時(shí)，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，，點(diǎn)G是△ABC的重心，AG的延長(zhǎng)線交邊BC于點(diǎn)D.過點(diǎn)G的直線分別交邊AB于點(diǎn)P、交射線AC于點(diǎn)Q.
（1）求AG的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)∠APQ=90º時(shí)，直線PG與邊BC相交于點(diǎn)M.求的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時(shí)，設(shè)BP=，AQ=，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域.[

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張正方形的紙片ABCD，先折出BC的中點(diǎn)E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落到線段EA上，折出點(diǎn)B的新位置B′，因而EB′＝EB，類似地，在AB上折出點(diǎn)B″使AB″＝AB′，這時(shí)B″就是AB的黃金分割點(diǎn)，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如果一個(gè)圖形經(jīng)過分割，能成為若干個(gè)與自身相似的圖形，我們稱它為“相似分割的圖形”，如圖所示的等腰直角三角形和矩形就是能相似分割的圖形.

(1)你能否再各舉出一個(gè) “能相似分割”的三角形和四邊形？
(2)一般的三角形是否是“能相似分割的圖形”？如果是請(qǐng)給出一種分割方案并畫出圖形，否則說明理由.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知:r如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°.對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E。且AC⊥BD。（1）求證：CD²=BC·AD；（2）點(diǎn)F是邊BC上一點(diǎn)，連接AF，與BD相交于點(diǎn)G，如果∠BAF=∠DBF，求證：。

 

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在正方形中，分別是邊上的點(diǎn)，并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

（1）求證：；
（2）若正方形的邊長(zhǎng)為4，求的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，△ABC在坐標(biāo)平面內(nèi)三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，2）、B（3，3）、C（3，1）．

（1）根據(jù)題意，請(qǐng)你在圖中畫出△ABC；
（2）在原圖中,以B為位似中心，畫出△A′BC′使它與△ABC位似且位似比是3：1，并寫出頂點(diǎn)A′和C′的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在△ABC中，AC=8cm，BC=16cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AC邊向點(diǎn)C以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿著CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，如果P與Q同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒△PQC和△ABC相似？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G．（1）如圖1，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF．則       （填“<”或“=”或“>”）；
（2）如圖2，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：
當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時(shí)，使得=成立？并證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，若BA="BC=" 3，DA="DC=" 4，∠BAD= 90°，DE⊥CF．則的值為        ．

圖1                     圖2                     圖3

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