Question

已知：拋物線y=-

3

x²-2

3

（a-1）x-

3

（a²-2a）與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜1＜x₂．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用a表示）；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為C，求△ABC的面積；
（3）若a是整數(shù)，P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P點(diǎn)與A、B兩點(diǎn)不重合），在x軸上方作等邊△APM和等邊△BPN，記線段MN的中點(diǎn)為Q，求拋物線的解析式及線段PQ的長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴x₁、x₂是關(guān)于x的方程-

3

x2-2

3

(a-1)x-

3

(a2-2a)=0的解；
方程可化簡(jiǎn)為x²+2（a-1）x+（a²-2a）=0；
解方程，得x=-a或x=-a+2；
∵x₁＜x₂，-a＜-a+2，（1分）
∴x₁=-a，x₂=-a+2
∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-a，0），B（-a+2，0）（2分）

（2）∵AB=2，頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為

3

，（3分）
∴△ABC的面積等于

3

；（4分）

（3）∵x₁＜1＜x₂，
∴-a＜1＜-a+2
∴-1＜a＜1；（5分）
∵a是整數(shù)，
∴a=0，
即所求拋物線的解析式為y=-

3

x²+2

3

x；（6分）
解法一：此時(shí)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（1，

3

）如圖，作CD⊥AB于D，連接CQ，
則AD=1，CD=

3

，tan∠BAC=

3

，
∴∠BAC=60°
由拋物線的對(duì)稱性可知△ABC是等邊三角形；
由△APM和△BPN是等邊三角形，線段MN的中點(diǎn)為Q可得，
點(diǎn)M、N分別在AC和BC邊上，四邊形PMCN的平行四邊形，
C、Q、P三點(diǎn)共線，且PQ=

1

2

PC；（7分）
∵點(diǎn)P線段AB上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，P與A、B兩點(diǎn)不重合，
DC≤PC＜AC，DC=

3

，AC=2，
∴

3

2

≤PQ＜1；（8分）

解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，0）（0＜x＜2）如圖，作MM₁⊥AB于M₁，NN₁⊥AB于N₁
∵△APM和△BPN是等邊三角形，且都在x軸上方，
∴AM=AP=x，BN=BP=2-x，∠MAP=60°，∠NBP=60°
∴AM₁=AM•cos∠MAB=

x

2

，
MM₁=AM•sin∠MAB=

3 x

2

，
BN₁=BN•cos∠NBP=

2-x

2

，
NN₁=BN•sin∠NBP=

2 3 - 3 x

2

∴AN₁=AB-BN₁=2-

2-x

2

=

2+x

2

∴M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分）別為M（

x

2

，

3 x

2

），N（

2+x

2

，

2 3 - 3 x

2

）
可得線段MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（

x+1

2

，

3

2

）
由勾股定理得PQ=

(x- x+1 2 )2+( 3 2 )2

=

1

2

(x-1)2+3

（7分）
∵點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，P與A、B兩點(diǎn)不重合，0＜x＜2，
∴3≤（x-1）²+3＜4，
∴

3

2

≤PQ＜1．（8分）