Question

【題目】某商店銷(xiāo)售一種商品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的月銷(xiāo)售量y（件）是售價(jià)x（元/件）的一次函數(shù)，其售價(jià)x、月銷(xiāo)售量y、月銷(xiāo)售利潤(rùn)w（元）的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

售價(jià)x（元/件）	40	45
月銷(xiāo)售量y（件）	300	250
月銷(xiāo)售利潤(rùn)w（元）	3000	3750

注：月銷(xiāo)售利潤(rùn)＝月銷(xiāo)售量×（售價(jià)－進(jìn)價(jià)）

（1）①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

②當(dāng)該商品的售價(jià)是多少元時(shí)，月銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)；

（2）由于某種原因，該商品進(jìn)價(jià)提高了m元/件（m＞0），物價(jià)部門(mén)規(guī)定該商品售價(jià)不得超過(guò)40元/件，該商店在今后的銷(xiāo)售中，月銷(xiāo)售量與售價(jià)仍然滿(mǎn)足（1）中的函數(shù)關(guān)系．若月銷(xiāo)售最大利潤(rùn)是2400元，則m的值為 ．

Answer 1

【答案】（1）①y＝－10x＋700；②當(dāng)該商品的售價(jià)是50元/件時(shí)，月銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是4000元．（2）2.

【解析】

（1）①將點(diǎn)（40，300）、（45，250）代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=kx+b即可求解；

②設(shè)該商品的售價(jià)是x元，則月銷(xiāo)售利潤(rùn)w= y（x－30），求解即可；

（2）根據(jù)進(jìn)價(jià)變動(dòng)后每件的利潤(rùn)變?yōu)?/span>[x-(m+30)]元，用其乘以月銷(xiāo)售量，得到關(guān)于x的二次函數(shù)，求得對(duì)稱(chēng)軸，判斷對(duì)稱(chēng)軸大于50，由開(kāi)口向下的二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x=40時(shí)w取得最大值2400，解關(guān)于m的方程即可．

（1）①解：設(shè)y＝kx＋b（k，b為常數(shù)，k≠0）

根據(jù)題意得：,解得：

∴y＝－10x＋700

②解：當(dāng)該商品的進(jìn)價(jià)是40－3000÷300＝30元

設(shè)當(dāng)該商品的售價(jià)是x元/件時(shí)，月銷(xiāo)售利潤(rùn)為w元

根據(jù)題意得：w＝y（x－30）＝（x－30）（－10x＋700）

＝－10x2＋1000 x－21000＝－10（x－50）2＋4000

∴當(dāng)x＝50時(shí)w有最大值，最大值為4000

答：當(dāng)該商品的售價(jià)是50元/件時(shí)，月銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是4000元．

（2）由題意得：
w=[x-(m+30)]（-10x+700）
=-10x2+（1000+10m）x-21000-700m
對(duì)稱(chēng)軸為x=50+
∵m＞0
∴50+>50
∵商家規(guī)定該運(yùn)動(dòng)服售價(jià)不得超過(guò)40元/件
∴由二次函數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)x=40時(shí)，月銷(xiāo)售量最大利潤(rùn)是2400元
∴-10×402+（1000+10m）×40-21000-700m=2400
解得：m=2
∴m的值為2．