Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，給出以下四個(gè)結(jié)論：
①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰三角形；④S_{四邊形AEPF}=

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2

S△ABC．
當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），上述結(jié)論中始終成立的有（　　）

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：計(jì)算題

分析：由EP垂直于FP，AP垂直于BC，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由三角形ABC為等腰直角三角形得到AP=PC，且∠EAP=∠C=45°，利用ASA得到三角形AEP與三角形CFP全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等即可做出判斷．

解答：解：∵EP⊥FP，AP⊥BC，
∴∠APE+∠APF=90°，∠APF+∠FPC=90°，
∴∠APE=∠FPC，選項(xiàng)②正確；
∵△ABC為等腰直角三角形，AP⊥BC，
∴∠EAP=∠C=45°，AP=CP，
在△AEP和△CFP中，

∠EAP=∠C=45° AP=CP ∠APE=∠CPF

，
∴△AEP≌△CFP（ASA），
∴AE=CF，選項(xiàng)①正確；PE=PF，
∴△PEF為等腰直角三角形，選項(xiàng)③正確；
∴S_{四邊形AEPF}=S_△AEP+S_△APF=S_△CFP+S_△APF=S_△APC=

1

2

S_△ABC，選項(xiàng)④正確，
則當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），上述結(jié)論中始終成立的有4個(gè)．
故選D

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．