Question

如圖，在正方形ABCD中，O為對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)，E為CO上一點(diǎn)，連接BE，F(xiàn)為∠OBE角平分線上一點(diǎn)，連接OF、AF，G為BE上一點(diǎn)且BO=BG．
（1）若GF⊥OF，OF=1，求線段OG的長(zhǎng)度；
（2）若∠AFB=90°，求證：AF=BF+OG．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：壓軸題

分析：（1）由BF平分∠DBE可以得出∠OBF=∠EBF，再有BO=BG，故可以得出△OBF≌△GBF從而得出OF=FG最后利用勾股定理就可以求出結(jié)論；
（2）先在線段AF上取一點(diǎn)M，使AM=BF，連接OM，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得出△AOM≌△BOF，由全等三角形的性質(zhì)可以得出△OMF是等腰直角三角形，可以得出MF=

2

OF，根據(jù)△OBF≌△GBF可以得出△OGF是等腰直角三角形，就有OG=

2

OF，進(jìn)而可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵BF平分∠DBE，
∴∠OBF=∠EBF．
∵在△OBF和△GBF中

OB=GB ∠OBF=∠EBF BF=BF

，
∴△OBF≌△GBF（SAS），
∴OF=FG．
∵GF⊥OF，
∴∠GFO=90°．
∵OF=1，
∴OF=FG=1．
在Rt△OFG中，由勾股定理，得
OG=

1+1

=

2

；

（2）在線段AF上取一點(diǎn)M，使AM=BF，連接OM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAF+∠ONA=90°．
∵∠AFB=90°，
∴∠FNB+∠OBF=90°．
∵∠ONA=∠FNB，
∴∠OAM=∠OBF．
∵在△AOM和△BOF中

AM=BF ∠OAM=∠OBF AO=BO

，
∴△AOM≌△BOF（SAS），
∴OM=OF，∠AOM=∠BOF．
∵∠AOM+∠MON=90°，
∴∠BOF+∠MON=90°
即∠MOF=90°．
∴∠OFM=45°，
∴MF=

2

OF，
∴∠BFO=∠OFM+∠AFB=135°．
∵△OBF≌△GBF，
∴∠BFG=∠BFO=135°，OF=GF．
∴∠OFG=360°-∠BFO-∠BFG=90°，
∴OG=

2

OF，
∴OG=MF．
∵AF=AM+MF，
∴AF=BF+OG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定的及性質(zhì)的運(yùn)用，在解答的過程中作輔助線是難點(diǎn)，證明三角形全等是關(guān)鍵．